Trigonalisation simultanée de familles commutatives

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ sur un corps $\mathbb{K}$ . On rappelle qu'un endomorphisme est dit trigonalisable si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$ .

Soient $u$ $u$ et $v$ $v$ deux endomorphismes de $E$ $E$ qui commutent ( $u \circ v = v \circ u$ $u \circ v = v \circ u$ ). On suppose que $u$ $u$ et $v$ $v$ sont trigonalisables.
1. Montrer que $u$ et $v$ possèdent au moins un vecteur propre en commun.
2. En déduire qu'il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont toutes deux triangulaires supérieures.
Soit $\mathcal{F} = (u_i)_{i \in I}$ $F = (u_{i})_{i \in I}$ une famille (quelconque) d'endomorphismes de $E$ $E$ qui commutent deux à deux. On suppose que pour tout $i \in I$ $i \in I$ , $u_i$ $u_{i}$ est trigonalisable.
1. Établir que les éléments de la famille $\mathcal{F}$ possèdent un vecteur propre commun.
2. Démontrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle tous les endomorphismes de la famille $\mathcal{F}$ sont représentés par des matrices triangulaires supérieures.

1.

Pour la question 1.(a), utiliser la stabilité des sous-espaces propres de $u$ par $v$ et considérer la restriction de $v$ .

2.

Pour la trigonalisation simultanée, procéder par récurrence sur la dimension $n$ de l'espace $E$ .

3.

Pour une famille quelconque, on pourra utiliser une récurrence sur la dimension de l'espace en montrant qu'un sous-espace stable commun de dimension plus petite existe dès lors que l'un des endomorphismes n'est pas une homothétie.

Idées clés

•

Stabilité des sous-espaces propres par un endomorphisme qui commute.

•

Restriction d'un endomorphisme trigonalisable à un sous-espace stable.

•

Raisonnement par récurrence sur la dimension de l'espace.

Résolution.

1. Puisque $u$ est trigonalisable, il admet au moins une valeur propre $\lambda \in \mathbb{K}$ . Soit $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda \text{Id}_E)$ le sous-espace propre associé. Montrons que $E_\lambda(u)$ est stable par $v$ . Soit $x \in E_\lambda(u)$ : $u(v(x)) = (u \circ v)(x) = (v \circ u)(x) = v(u(x)) = v(\lambda x) = \lambda v(x)$ Ainsi, $v(x) \in E_\lambda(u)$ , donc $E_\lambda(u)$ est stable par $v$ . Considérons l'endomorphisme induit $\tilde{v} : E_\lambda(u) \to E_\lambda(u)$ défini par $\tilde{v}(x) = v(x)$ . Son polynôme caractéristique $\chi_{\tilde{v}}$ divise $\chi_v$ dans $\mathbb{K}[X]$ . Comme $\chi_v$ est scindé, $\chi_{\tilde{v}}$ l'est aussi. Par conséquent, $\tilde{v}$ admet au moins une valeur propre $\mu \in \mathbb{K}$ et un vecteur propre associé $e \in E_\lambda(u) \setminus \{0\}$ . On a alors : $\boxed{u(e) = \lambda e \text{et} v(e) = \mu e}$ Le vecteur $e$ est donc un vecteur propre commun à $u$ et $v$ .
2. Procédons par récurrence sur $n = \dim E$ . Initialisation : Pour $n=1$ , tout endomorphisme est représenté par une matrice $(a)$ , qui est triangulaire. Hérédité : Supposons la propriété vraie pour tout espace de dimension $n-1$ . D'après (a), il existe un vecteur propre commun $e_1$ à $u$ et $v$ . On complète $e_1$ en une base $\mathcal{B} = (e_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_n)$ de $E$ . Les matrices de $u$ et $v$ dans cette base sont de la forme : $M_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} \lambda & L_u 0 & A \end{pmatrix}, M_{\mathcal{B}}(v) = \begin{pmatrix} \mu & L_v 0 & B \end{pmatrix}$ où $A, B \in \mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{K})$ . La relation $u \circ v = v \circ u$ se traduit matriciellement par $M(u)M(v) = M(v)M(u)$ . Le calcul du produit par blocs donne pour le bloc inférieur droit : $\boxed{AB = BA}$ De plus, $\chi_u(X) = (X-\lambda)\chi_A(X)$ et $\chi_v(X) = (X-\mu)\chi_B(X)$ . Ainsi, $\chi_A$ et $\chi_B$ sont scindés, donc $A$ et $B$ sont trigonalisables. Par hypothèse de récurrence, il existe $P \in GL_{n-1}(\mathbb{K})$ telle que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ soient triangulaires supérieures. En posant $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & P \end{pmatrix} \in GL_n(\mathbb{K})$ , les matrices $Q^{-1}M(u)Q$ et $Q^{-1}M(v)Q$ sont triangulaires supérieures.
1. On raisonne par récurrence sur $n = \dim E$ . Si $n=1$ , le résultat est immédiat. Supposons le résultat vrai pour tout espace de dimension strictement inférieure à $n$ . Si tous les $u_i$ sont des homothéties ( $u_i = \lambda_i \text{Id}_E$ ), alors tout vecteur non nul est un vecteur propre commun. Sinon, il existe $u_{i_0} \in \mathcal{F}$ qui n'est pas une homothétie. Comme $u_{i_0}$ est trigonalisable, il possède au moins une valeur propre $\lambda$ . Le sous-espace propre $V = \ker(u_{i_0} - \lambda \text{Id}_E)$ vérifie $1 \le \dim V < n$ . Comme tous les $u_j$ commutent avec $u_{i_0}$ , ils stabilisent tous $V$ . On peut alors considérer la famille des restrictions $\mathcal{F}_{|V} = (u_{j|V})_{j \in I}$ . Chaque $u_{j|V}$ est encore trigonalisable (son polynôme caractéristique divise celui de $u_j$ ). Par hypothèse de récurrence appliquée à l'espace $V$ , il existe un vecteur propre commun à tous les $u_{j|V}$ , qui est donc un vecteur propre commun à tous les éléments de $\mathcal{F}$ .
2. On procède à nouveau par récurrence sur $n = \dim E$ . L'existence d'un vecteur propre commun $e_1$ (question précédente) permet d'écrire, dans une base commençant par $e_1$ , des matrices de la forme : $\forall i \in I, M(u_i) = \begin{pmatrix} \lambda_i & L_i 0 & A_i \end{pmatrix}$ La commutation de la famille $(u_i)$ entraîne la commutation de la famille de matrices $(A_i)_{i \in I}$ de taille $(n-1)$ . De plus, chaque $A_i$ est trigonalisable. L'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base de $\mathbb{K}^{n-1}$ trigonalisant simultanément tous les $A_i$ . On conclut par un changement de base par blocs comme en 1.(b).

Attention à ne pas oublier de justifier que les restrictions d'endomorphismes trigonalisables à un sous-espace stable restent trigonalisables (argument de divisibilité du polynôme caractéristique).