Étude de l'algèbre de Lie sl2(R)

On considère l'espace vectoriel $\mathcal{A}$ constitué des matrices de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ dont la trace est nulle. On définit les trois matrices suivantes de $\mathcal{A}$ :

e_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix},   e_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix},   e_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}

Pour toutes matrices

A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})

, on note

[A, B] = AB - BA

le crochet de Lie de

A

et

B

.

Déterminer les valeurs des crochets $[e_{i}, e_{j}]$ pour tout couple $(i, j) \in \{1, 2, 3\}^2$ .
Justifier que $(e_1, e_2, e_3)$ forme une base de $\mathcal{A}$ et en déduire la dimension de cet espace.
Soit $s$ un élément non nul de $\mathcal{A}$ . On s'intéresse au système d'équations $(S)$ d'inconnues $(p, q) \in \mathcal{A}^2$ suivant : $(S) : \begin{cases} [s, p] = -2p [s, q] = 2q [p, q] = -s \end{cases}$ On suppose qu'il existe un couple de solutions $(p_0, q_0)$ à ce système. Déterminer l'ensemble de toutes les solutions de $(S)$ en fonction de $p_0$ et $q_0$ .

1.

Pour la question 1, procéder par calcul direct. Remarquer les propriétés d'antisymétrie du crochet.

2.

Pour la question 2, vérifier la liberté de la famille et montrer qu'elle engendre les matrices de trace nulle.

3.

Pour la question 3, utiliser l'application linéaire $\text{ad}_s : X \mapsto [s, X]$ . Si le système possède une solution, alors $-2$ et $2$ sont valeurs propres de $\text{ad}_s$ . Étudier la dimension des sous-espaces propres associés. Remarquer que si $s$ est semblable à $e_1$ , l'étude se ramène au cas traité en question 1.

Idées clés

•

Utilisation du crochet de Lie comme opérateur linéaire (endomorphisme adjoint).

•

Lien entre les valeurs propres de $s$ et les valeurs propres de l'application $X \mapsto [s, X]$ .

•

Structure de l'algèbre de Lie $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ .

Résolution.

Par calcul direct, nous obtenons : $\bullet$ $[e_1, e_1] = [e_2, e_2] = [e_3, e_3] = 0$ par définition du crochet. $\bullet$ $[e_1, e_2] = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 -2 & 0 \end{pmatrix} = -2e_2$ . $\bullet$ $[e_1, e_3] = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 0 & 0 \end{pmatrix} = 2e_3$ . $\bullet$ $[e_2, e_3] = \begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 0 \end{pmatrix} = -e_1$ . Par antisymétrie $[A, B] = -[B, A]$ , on en déduit les autres crochets : $\boxed{[e_1, e_2] = -2e_2, [e_1, e_3] = 2e_3, [e_2, e_3] = -e_1}$
Une matrice $M = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix}$ appartient à $\mathcal{A}$ si et seulement si $a+d=0$ , soit $d = -a$ . Ainsi, $M = \begin{pmatrix} a & b c & -a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix} = a e_1 + c e_2 + b e_3$ . La famille $(e_1, e_2, e_3)$ est donc génératrice de $\mathcal{A}$ . De plus, elle est clairement libre car les positions des coefficients non nuls sont distinctes. $\boxed{\dim(\mathcal{A}) = 3}$
Soit $\phi_s : \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ l'endomorphisme défini par $\phi_s(X) = [s, X]$ . Les deux premières équations du système signifient que $p$ est un vecteur propre de $\phi_s$ pour la valeur propre $-2$ , et $q$ est un vecteur propre pour la valeur propre $2$ . Analyse des dimensions : Supposons qu'il existe une solution $(p_0, q_0)$ avec $s \neq 0$ . Puisque $[s, p_0] = -2p_0$ et $[s, q_0] = 2q_0$ , l'endomorphisme $\phi_s$ admet au moins deux valeurs propres non nulles et distinctes. Dans la base $(e_1, e_2, e_3)$ , si $s = e_1$ , la matrice de $\phi_{e_1}$ est $\text{diag}(0, -2, 2)$ d'après la question 1. Les sous-espaces propres associés à $-2$ et $2$ sont de dimension 1. Plus généralement, toute matrice $s \in \mathcal{A} \setminus \{0\}$ possédant des valeurs propres non nulles est semblable à une matrice de la forme $\text{diag}(\lambda, -\lambda)$ . On montre alors que les valeurs propres de $\phi_s$ sont $\{0, 2\lambda, -2\lambda\}$ . Pour que $-2$ et $2$ soient valeurs propres, il est nécessaire que $\lambda = \pm 1$ , donc que $s$ soit semblable à $e_1$ . Dans ce cas, les sous-espaces propres $E_{-2}(\phi_s)$ et $E_{2}(\phi_s)$ sont de dimension 1. Résolution : Puisque $\dim E_{-2}(\phi_s) = 1$ et $\dim E_{2}(\phi_s) = 1$ , tout couple $(p, q)$ vérifiant les deux premières équations est de la forme : $p = \alpha p_0 \text{et} q = \beta q_0 \text{avec } (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ Injectons ces expressions dans la troisième équation $[p, q] = -s$ : $[\alpha p_0, \beta q_0] = -s \iff \alpha \beta [p_0, q_0] = -s$ Comme $(p_0, q_0)$ est une solution particulière, on a déjà $[p_0, q_0] = -s$ . L'équation devient : $\alpha \beta (-s) = -s$ Puisque $s \neq 0$ , cette égalité équivaut à $\alpha \beta = 1$ , soit $\beta = \frac{1}{\alpha}$ (avec $\alpha \neq 0$ ). $\boxed{\mathcal{S} = \left\{ \left( \alpha p_0, \frac{1}{\alpha} q_0 \right), \alpha \in \mathbb{R}^* \right\}}$

Attention à ne pas oublier que $s$ est fixé dans le système. On ne cherche pas à faire varier $s$ , mais bien à trouver tous les couples $(p, q)$ possibles pour un $s$ donné. Il est aussi crucial de justifier que les sous-espaces propres sont de dimension 1 pour affirmer que $p$ et $q$ sont proportionnels à $p_0$ et $q_0$ .