Nilpotence et commutateurs | WikiPrépa Maths

Soient $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . On note $[A, B] = AB - BA$ le crochet de Lie de $A$ et $B$ .

On suppose qu'il existe $\alpha \in \mathbb{C}^{*}$ $α \in C^{*}$ tel que $[A, B] = \alpha A$ $[A, B] = α A$ .
1. Calculer $\operatorname{Tr}(A^{k})$ pour tout $k \in \mathbb{N}^{*}$ .
2. En déduire que $A$ est une matrice nilpotente.
On suppose que $A$ $A$ commute avec $[A, B]$ $[A, B]$ .
1. Montrer par récurrence que pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $[A^k, B] = k A^{k-1} [A, B]$ .
2. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^{*}$ , $\operatorname{Tr}([A, B]^k) = 0$ .
3. En déduire que $[A, B]$ est nilpotente.
Soient $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$ . On suppose que $[A, B] = \lambda A + \mu B$ . Montrer que $A$ et $B$ admettent un vecteur propre commun.

1.

Pour la question 1, utiliser la linéarité de la trace et la propriété $\operatorname{Tr}(XY) = \operatorname{Tr}(YX)$ .

2.

Pour la question 2(b), utiliser la question 2(a) et calculer $\operatorname{Tr}([A^k, B])$ de deux façons différentes.

3.

Pour la question 3, considérer le sous-espace $V = \operatorname{Vect}(A, B)$ . Si $\lambda = \mu = 0$ , utiliser le résultat classique sur les endomorphismes qui commutent. Sinon, se ramener au cas où un élément est nilpotent.

Idées clés

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Propriété fondamentale : $\operatorname{Tr}(AB-BA) = 0$ .

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Lemme de Jacobson : si $A$ commute avec $[A,B]$ , alors $[A,B]$ est nilpotent.

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Utilisation de la structure d'algèbre de Lie de dimension finie.

Résolution.

Cas $[A, B] = \alpha A$ $[A, B] = α A$ :
1. Soit $k \geq 1$ . On multiplie par $A^{k-1}$ à gauche : $A^k B - A^{k-1} B A = \alpha A^k$ . En prenant la trace : $\operatorname{Tr}(A^k B) - \operatorname{Tr}(A^{k-1} B A) = \alpha \operatorname{Tr}(A^k)$ Par circularité de la trace, $\operatorname{Tr}(A^{k-1} B A) = \operatorname{Tr}(A \cdot A^{k-1} B) = \operatorname{Tr}(A^k B)$ . On obtient donc $\boxed{0 = \alpha \operatorname{Tr}(A^k)}$ . Comme $\alpha \neq 0$ , on a $\operatorname{Tr}(A^k) = 0$ pour tout $k \geq 1$ .
2. D'après l'exercice précédent, $\operatorname{Tr}(A^k) = 0$ pour $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$ implique que $\boxed{A \text{ est nilpotente}}$ .
Cas où $A$ $A$ commute avec $C = [A, B]$ $C = [A, B]$ :
1. L'initialisation est triviale. Supposons la propriété au rang $k$ : $[A^{k+1}, B] = A^{k+1} B - B A^{k+1} = A(A^k B - B A^k) + (AB - BA) A^k$ $[A^{k+1}, B] = A [A^k, B] + [A, B] A^k$ Par hypothèse de récurrence et comme $A$ et $[A, B]$ commutent : $[A^{k+1}, B] = A(k A^{k-1} [A, B]) + [A, B] A^k = (k+1) A^k [A, B]$ La relation est vérifiée.
2. Soit $k \geq 1$ . On sait que $\operatorname{Tr}([A^k, B]) = 0$ . Or, d'après (a), $[A^k, B] = k A^{k-1} C$ . Donc $\operatorname{Tr}(A^{k-1} C) = 0$ pour tout $k \geq 1$ . En particulier, pour tout polynôme $P$ , $\operatorname{Tr}(P(A)C) = 0$ . Comme $C$ commute avec $A$ , on peut trigonaliser $A$ et $C$ simultanément (ou utiliser que $C^k$ est de la forme $P(A)C$ par récurrence car $C$ est un commutateur lié à $A$ ). En fait, on montre par récurrence que $\operatorname{Tr}(C^k) = 0$ en utilisant la dérivation $D(X) = [X, B]$ . Plus simplement, si on note $\delta(X) = [X, B]$ , alors $C = \delta(A)$ . Comme $A$ et $C$ commutent, $\operatorname{Tr}(C^k) = \operatorname{Tr}(C^{k-1} [A, B])$ . Comme $C$ commute avec $A$ , $C^{k-1} [A, B] = [A, C^{k-1} B]$ . D'où $\operatorname{Tr}(C^k) = \operatorname{Tr}([A, C^{k-1} B]) = 0$ .
3. Comme $\operatorname{Tr}(C^k) = 0$ pour tout $k$ , $\boxed{C \text{ est nilpotente}}$ .
Cas $[A, B] = \lambda A + \mu B$ : Si $\lambda = \mu = 0$ , $A$ et $B$ commutent. Sur $\mathbb{C}$ , ils ont un vecteur propre commun. Sinon, supposons $\lambda \neq 0$ . Posons $C = \lambda A + \mu B$ . Alors $[C, B] = [\lambda A + \mu B, B] = \lambda [A, B] = \lambda C$ . D'après la question 1, $C$ est nilpotente. Soit $W = \operatorname{Ker} C$ . Comme $C \neq 0$ (si $C=0$ c'est fini), $W$ est un sous-espace non trivial. De $[C, B] = \lambda C$ , on tire que $W$ est stable par $B$ . En effet, si $x \in W$ : $C(Bx) = (BC - \lambda C)x = B(Cx) - \lambda Cx = 0$ L'endomorphisme induit par $B$ sur $W$ admet au moins un vecteur propre $v$ . Alors $Bv = \beta v$ et $Cv = 0$ . Comme $C = \lambda A + \mu B$ , on a $\lambda Av + \mu \beta v = 0$ , donc $v$ est aussi vecteur propre de $A$ .

Dans la question 2, il est crucial de ne pas oublier que la trace d'un commutateur est nulle, ce qui est le levier principal pour prouver la nilpotence.