Diagonalisation de matrices par blocs identiques

Soit $n$ un entier naturel non nul et $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ une matrice carrée, où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

On définit la matrice $A \in \mathcal{M}_{2 n}(\mathbb{K})$ par la structure de blocs suivante :

A = \begin{pmatrix} M & M M & M \end{pmatrix}

Montrer que la matrice $A$ est semblable à la matrice $A' = \begin{pmatrix} 2M & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$ , où les blocs sont de taille $n \times n$ .
En déduire que $A$ est diagonalisable si et seulement si $M$ est diagonalisable.

1.

Pour la question 1, on pourra chercher un changement de base simple en s'inspirant du cas $n=1$ . On pourra considérer des vecteurs colonnes de la forme $\begin{pmatrix} X X \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} X -X \end{pmatrix}$ .

2.

Pour la question 2, utiliser le fait qu'une matrice diagonale par blocs est diagonalisable si et seulement si chaque bloc sur la diagonale est diagonalisable.

3.

On peut aussi utiliser la caractérisation par les polynômes annulateurs scindés à racines simples.

Idées clés

•

Changement de base par blocs (matrice de passage de type "somme et différence").

•

Relation de similitude et conservation de la diagonalisabilité.

•

Propriété de diagonalisation des matrices diagonales par blocs.

Résolution.

Cherchons une matrice de passage $P \in \text{GL}_{2n}(\mathbb{K})$ permettant de simplifier $A$ . Inspirés par l'étude des endomorphismes de symétrie, posons la matrice par blocs : $P = \begin{pmatrix} I_n & I_n I_n & -I_n \end{pmatrix}$ Cette matrice est inversible. En effet, en effectuant un pivot de Gauss par blocs (ou en remarquant qu'il s'agit d'une matrice de Vandermonde par blocs), on trouve son inverse : $\boxed{ P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I_n & I_n I_n & -I_n \end{pmatrix} }$
Calculons maintenant le produit $AP$ :
$AP = \begin{pmatrix} M & M M & M \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & I_n I_n & -I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2M & 0 2M & 0 \end{pmatrix}$ Puis calculons $P^{-1} (AP)$ : $P^{-1} AP = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I_n & I_n I_n & -I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2M & 0 2M & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4M & 0 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2M & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$
On a donc établi la relation de similitude :
$\boxed{ A \sim \begin{pmatrix} 2M & 0 0 & 0 \end{pmatrix} }$
La diagonalisabilité est une propriété invariante par similitude. Ainsi, $A$ est diagonalisable si et seulement si la matrice $A' = \begin{pmatrix} 2M & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$ l'est. Sens direct ( $\implies$ ) : Supposons $A'$ diagonalisable. Il existe alors un polynôme $Q \in \mathbb{K}[X]$ scindé à racines simples tel que $Q(A') = 0$ . Par calcul par blocs, on a : $Q(A') = \begin{pmatrix} Q(2M) & 0 0 & Q(0) \end{pmatrix}$ L'égalité $Q(A') = 0$ implique donc $Q(2M) = 0$ . Le polynôme $Q$ étant scindé à racines simples, la matrice $2M$ est diagonalisable. Comme le facteur scalaire $2$ ne modifie pas la diagonalisabilité, $M$ est diagonalisable.
Sens réciproque ( $\impliedby$ ) : Supposons $M$ diagonalisable. Alors $2M$ est diagonalisable. Il existe donc une base de vecteurs propres pour $2M$ dans $\mathbb{K}^n$ . Soit $(X_1, \dots, X_n)$ une telle base. Alors les vecteurs de $\mathbb{K}^{2n}$ suivants forment une base de vecteurs propres pour $A'$ :
$\left( \begin{pmatrix} X_1 0 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} X_n 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 E_1 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} 0 E_n \end{pmatrix} \right)$ où $(E_1, \dots, E_n)$ est la base canonique de $\mathbb{K}^n$ (ce sont des vecteurs propres pour le bloc nul). Par conséquent, $A'$ est diagonalisable, et donc $A$ l'est aussi.
Conclusion :
$\boxed{ A \text{ est diagonalisable } \iff M \text{ est diagonalisable} }$

Ne pas oublier de traiter la réciproque (l'équivalence). Souvent, on se contente de montrer l'implication directe. De plus, il faut bien justifier pourquoi la diagonalisabilité d'une matrice par blocs se ramène à celle de ses blocs diagonaux.