Similitude et diagonalisation par blocs

Résolution.

1. Nous cherchons une matrice $P \in \text{GL}_{2n}(\mathbb{C})$ telle que $B = P D' P^{-1}$, ce qui équivaut à $B P = P D'$.

   Tentons de trouver une telle matrice sous la forme $P = \begin{pmatrix} I_n & X$
   0 & I_n \end{pmatrix}, où $X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Une telle matrice est inversible (son déterminant vaut $1$). Calculons les deux produits par blocs :

   $$B P = \begin{pmatrix} A & 2A$$
   0 & 3A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n & X
   0 & I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & AX + 2A
   0 & 3A \end{pmatrix}

   Et d'autre part :

   $$P D' = \begin{pmatrix} I_n & X$$
   0 & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & 0
   0 & 3A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 3X A
   0 & 3A \end{pmatrix}

   Pour que $B P = P D'$, il suffit de trouver $X$ tel que $AX + 2A = 3XA$. En choisissant $X = I_n$, l'égalité devient $A(I_n) + 2A = 3(I_n)A$, soit $3A = 3A$, ce qui est toujours vérifié.

   On en conclut que pour $P = \begin{pmatrix} I_n & I_n$
   0 & I_n \end{pmatrix} :

   $$\boxed{ B = P \begin{pmatrix} A & 0$$
   0 & 3A \end{pmatrix} P^{-1} }

2. Procédons par double implication. Comme $B$ est semblable à $D'$, $B$ est diagonalisable si et seulement si $D' = \begin{pmatrix} A & 0$
   0 & 3A \end{pmatrix} l'est.

   Sens direct ($\implies$) : Supposons $A$ diagonalisable. Il existe $Q \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ et $D$ diagonale tels que $A = Q D Q^{-1}$. Considérons la matrice de passage par blocs $R = \begin{pmatrix} Q & 0$
   0 & Q \end{pmatrix}. On a alors :

   $$R^{-1} D' R = \begin{pmatrix} Q^{-1} & 0$$
   0 & Q^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & 0
   0 & 3A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Q & 0
   0 & Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q^{-1}AQ & 0
   0 & 3Q^{-1}AQ \end{pmatrix}

   D'où :

   $$R^{-1} D' R = \begin{pmatrix} D & 0$$
   0 & 3D \end{pmatrix}

   Puisque $D$ est diagonale, la matrice bloc-diagonale $\text{diag}(D, 3D)$ est diagonale. Ainsi $D'$ est diagonalisable, et par similitude, $B$ l'est également.

   Sens réciproque ($\impliedby$) : Supposons $B$ diagonalisable. Alors $D' = \begin{pmatrix} A & 0$
   0 & 3A \end{pmatrix} est diagonalisable. Il existe donc un polynôme $Q \in \mathbb{C}[X]$ scindé à racines simples tel que $Q(D') = 0$. Par calcul de polynôme de matrice par blocs, on a :

   $$Q(D') = \begin{pmatrix} Q(A) & 0$$
   0 & Q(3A) \end{pmatrix}

   L'égalité $Q(D') = 0$ implique notamment $Q(A) = 0$. Comme $A$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, on conclut :

   $$\boxed{ \text{A est diagonalisable} }$$