Diagonalisation d'une matrice triangulaire par blocs

Soient $A, B$ et $C$ trois matrices appartenant à $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On suppose que ces matrices vérifient la relation $AB = BC$ .

On définit la matrice $M \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ par la structure de blocs suivante :

M = \begin{pmatrix} A & B 0 & C \end{pmatrix}

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $A, B$ et $C$ pour que la matrice $M$ soit diagonalizable.

1.

Commencer par établir, pour tout polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ , une expression de la matrice $P(M)$ en fonction de $P(A)$ , $P(C)$ , $P'(C)$ et $B$ . On utilisera la relation $AB=BC$ pour simplifier les puissances de $M$ .

2.

Utiliser le critère de diagonalisabilité portant sur l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

3.

Pour la condition nécessaire, si $P$ annule $M$ et a des racines simples, montrer que $P'(C)$ est nécessairement une matrice inversible.

Idées clés

•

Calcul des puissances d'une matrice par blocs par récurrence.

•

Lien entre $P(M)$ et la dérivée $P'$ pour ce type de structure.

•

Caractérisation polynomiale de la diagonalisabilité (polynôme scindé à racines simples).

1. Calcul des puissances de $M$ .

Montrons par récurrence sur $k \in \mathbb{N}$ que :

M^k = \begin{pmatrix} A^k & k B C^{k-1} 0 & C^k \end{pmatrix}

Initialisation : Pour $k=0$ , $M^0 = I_{2n}$ et le bloc en haut à droite est $0 \cdot B C^{-1} = 0$ , ce qui est cohérent. Pour $k=1$ , on retrouve bien $M$ .

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $k$ . Alors :

M^{k+1} = M \cdot M^k = \begin{pmatrix} A & B 0 & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^k & k B C^{k-1} 0 & C^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^{k+1} & k A B C^{k-1} + B C^k 0 & C^{k+1} \end{pmatrix}

Or, la relation $AB=BC$ implique par une récurrence immédiate que $A^j B = B C^j$ pour tout $j \in \mathbb{N}$ . En particulier, pour $j=1$ , on a $AB = BC$ , d'où :

k A B C^{k-1} = k (BC) C^{k-1} = k B C^k

Le bloc supérieur droit devient donc :

k B C^k + B C^k = (k+1) B C^k

La formule est donc démontrée par récurrence pour tout

k \in \mathbb{N}

.

2. Action d'un polynôme sur $M$ .

Soit $P = \sum_{k=0}^d a_k X^k$ un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ . Par linéarité du passage au polynôme de matrice :

P(M) = \sum_{k=0}^d a_k M^k = \sum_{k=0}^d a_k \begin{pmatrix} A^k & k B C^{k-1} 0 & C^k \end{pmatrix}

En distribuant la somme dans les blocs, on obtient :

P(M) = \begin{pmatrix} \sum a_k A^k & B \left( \sum k a_k C^{k-1} \right) 0 & \sum a_k C^k \end{pmatrix}

On reconnaît les expressions de $P(A)$ , $P(C)$ et de la dérivée $P'(C)$ :

\boxed{ P(M) = \begin{pmatrix} P(A) & B P'(C) 0 & P(C) \end{pmatrix} }

3. Condition Nécessaire (Analyse).

Supposons $M$ diagonalizable. Il existe alors un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ scindé à racines simples tel que $P(M) = 0$ . D'après la relation précédente, ceci impose :

P(A) = 0,   P(C) = 0,   \text{et}   B P'(C) = 0

$P(A)=0$ avec $P$ à racines simples implique que $A$ est diagonalizable.
$P(C)=0$ avec $P$ à racines simples implique que $C$ est diagonalizable.
Soit $\lambda \in \text{Sp}(C)$ . Comme $P(C)=0$ , $\lambda$ est racine de $P$ . Puisque les racines de $P$ sont simples, on a nécessairement $P'(\lambda) \neq 0$ .

Les valeurs propres de la matrice $P'(C)$ sont les $\{P'(\lambda) \mid \lambda \in \text{Sp}(C)\}$ . Comme elles sont toutes non nulles, $P'(C)$ est une matrice inversible. Dès lors :

B P'(C) = 0 \implies B = 0 \cdot (P'(C))^{-1} \implies \boxed{ B = 0 }

4. Condition Suffisante (Synthèse).

Supposons que $B=0$ et que $A$ et $C$ soient diagonalisables. Alors la matrice $M$ est diagonale par blocs :

M = \begin{pmatrix} A & 0 0 & C \end{pmatrix}

Une matrice diagonale par blocs est diagonalizable si et seulement si chaque bloc diagonal l'est. Comme $A$ et $C$ sont diagonalisables par hypothèse, $M$ l'est aussi.

Conclusion :

\boxed{ M \text{ est diagonalizable } \iff B = 0 \text{ et } (A, C) \text{ sont diagonalisables} }

Il est tentant de penser que la condition $AB=BC$ permet à $B$ d'être non nulle (par exemple si $A$ et $C$ n'ont pas de valeurs propres communes). Cependant, la structure triangulaire par blocs impose une contrainte très forte : si $M$ est diagonalizable, le couplage induit par $B$ doit disparaître totalement dès que la relation de commutation "type dérivation" $P(M)$ apparaît.