Réduction d'une matrice circulante symétrique

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geq 4$ . On considère deux nombres complexes $a$ et $b$ .

On définit la matrice $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ par les coefficients suivants :

$a_{i,i} = a$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ ;
$a_{i, i+1} = a_{i+1, i} = b$ pour tout $i \in \{1, \dots, n-1\}$ ;
$a_{1,n} = a_{n,1} = b$ ;
$a_{i,j} = 0$ sinon.

Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
Déterminer explicitement les valeurs propres de la matrice $A$ .
À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ la matrice $A$ est-elle inversible ?

1.

Introduire la matrice de permutation circulaire $J$ définie par $J e_i = e_{i-1}$ (avec $e_0 = e_n$ ).

2.

Exprimer $A$ comme un polynôme en $J$ .

3.

Utiliser le fait que les valeurs propres de $P(J)$ sont les $P(\lambda)$ où $\lambda \in \text{Sp}(J)$ .

Idées clés

•

Utilisation de la structure de matrice circulante.

•

Lien entre les éléments propres d'un endomorphisme $u$ et ceux de $P(u)$ .

•

Propriétés des racines $n$ -ièmes de l'unité.

Résolution.

Introduisons la matrice de permutation circulaire $J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ définie par : $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 0 & 0 & \dots & 0 & 1 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \end{pmatrix}$ On remarque que $J^T = J^{-1}$ car $J$ est une matrice de permutation (elle est donc orthogonale). En observant la structure de $A$ , on peut l'écrire sous la forme : $A = a I_n + b J + b J^{T} = a I_n + b J + b J^{-1}$ La matrice $J$ vérifie la relation $J^n = I_n$ . Ainsi, le polynôme $P(X) = X^n - 1$ est un polynôme annulateur de $J$ . Ce polynôme $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ (les racines sont les $\omega_k = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$ ). Par conséquent, la matrice $J$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Comme $A$ est une somme de puissances de $J$ , on en déduit que $A$ est un polynôme en $J$ . Tout polynôme d'une matrice diagonalisable étant lui-même diagonalisable, on conclut : $\boxed{A \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{C})}$
Soit $\omega_k = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$ les valeurs propres de $J$ . Puisque $A = Q(J)$ avec $Q(X) = a + bX + bX^{n-1}$ (notons que $J^{-1} = J^{n-1}$ car $J^n = I_n$ ), les valeurs propres $\lambda_k$ de $A$ sont données par : $\lambda_k = Q(\omega_k) = a + b \omega_k + b \omega_k^{-1}$ En utilisant la forme exponentielle de $\omega_k$ , on obtient : $\lambda_k = a + b e^{\frac{2ik\pi}{n}} + b e^{-\frac{2ik\pi}{n}}$ Grâce aux formules de Euler, nous pouvons simplifier cette expression : $\boxed{\forall k \in \{0, \dots, n-1\}, \lambda_k = a + 2b \cos\left( \frac{2k\pi}{n} \right)}$
La matrice $A$ est inversible si et seulement si toutes ses valeurs propres sont non nulles. D'après le résultat précédent, cela revient à imposer que : $\forall k \in \{0, \dots, n-1\}, a + 2b \cos\left( \frac{2k\pi}{n} \right) \neq 0$ Ceci est équivalent à dire que le rapport $-\frac{a}{2b}$ (si $b \neq 0$ ) n'appartient pas à l'ensemble des valeurs prises par le cosinus sur les angles réguliers $\frac{2k\pi}{n}$ . Si $b=0$ , la condition devient simplement $a \neq 0$ . On peut synthétiser la condition d'inversibilité par : $\boxed{A \in GL_n(\mathbb{C}) \iff a \notin \left\{ -2b \cos\left( \frac{2k\pi}{n} \right) \mid k \in \{0, \dots, n-1\} \right\}}$

Attention à ne pas oublier les coefficients $a_{1,n}$ et $a_{n,1}$ . Sans ces termes, la matrice serait tridiagonale classique (non circulante), et ses valeurs propres auraient une expression différente faisant intervenir les racines d'un polynôme de Chebyshev.