Diagonalisation des matrices circulantes

Soit $n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$ . On considère la matrice de permutation circulaire $J \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ définie par :

J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 1 & 0 & \dots & 0 & 0 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \vdots & \vdots & \ddots & 0 & 0 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix}

Étude de la matrice $J$ $J$ .
1. Calculer $J^k$ pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ .
2. Déterminer le polynôme caractéristique de $J$ .
3. Montrer que $J$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et expliciter son spectre.
4. Déterminer une matrice $P \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ telle que $P^{-1}JP$ soit une matrice diagonale.
Soient $(a_0, \dots, a_{n-1}) \in \mathbb{C}^n$ $(a_{0}, \dots, a_{n - 1}) \in C^{n}$ . On considère la matrice circulante :
$M = \begin{pmatrix} a_0 & a_{n-1} & \dots & a_1 a_1 & a_0 & \ddots & \vdots \vdots & \vdots & \ddots & a_{n-1} a_{n-1} & a_{n-2} & \dots & a_0 \end{pmatrix}$
1. Exprimer $M$ comme un polynôme en $J$ .
2. En déduire que $M$ est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres en fonction du polynôme $Q = \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k$ .
3. Donner une expression du déterminant de $M$ sous forme de produit.
4. À quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on $J \in \mathbb{C}[M]$ ?
Application : soit $\theta \in \mathbb{R}$ . Calculer le déterminant de la matrice $C_{\theta}$ dont la première ligne est $(\cos(\theta), \cos(2\theta), \dots, \cos(n\theta))$ et dont les lignes suivantes sont obtenues par permutations circulaires successives vers la droite.

1.

Pour $J$ , remarquer que l'endomorphisme associé effectue une permutation de la base canonique : $u(e_j) = e_{j+1}$ (indices modulo $n$ ).

2.

Utiliser le fait que si $M = Q(J)$ , alors toute base de vecteurs propres de $J$ est aussi une base de vecteurs propres de $M$ .

3.

Pour $J \in \mathbb{C}[M]$ , penser au lien entre l'algèbre $\mathbb{C}[M]$ et le polynôme minimal, ou utiliser l'interpolation de Lagrange sur les valeurs propres.

4.

Pour le déterminant avec $\cos(k\theta)$ , utiliser la formule du produit des $Q(\omega^k)$ en simplifiant les sommes géométriques.

Idées clés

•

Structure de l'algèbre $\mathbb{C}[J]$ engendrée par la matrice de permutation.

•

Théorème de réduction des polynômes d'endomorphismes : si $M = P(J)$ , alors $\text{Sp}(M) = \{ P(\lambda) \mid \lambda \in \text{Sp}(J) \}$ .

•

Utilisation des racines $n$ -ièmes de l'unité $\omega_k = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ .

Résolution.

Étude de $J$ .
1. Soit $(e_1, \dots, e_n)$ la base canonique de $\mathbb{C}^n$ . L'endomorphisme $u$ associé à $J$ vérifie $u(e_j) = e_{j+1}$ pour $j < n$ et $u(e_n) = e_1$ . Par récurrence, $u^k(e_j) = e_{j+k \pmod n}$ . Ainsi, $J^k$ est la matrice avec des $1$ sur la $k$ -ième sous-diagonale (en comptant cycliquement). On remarque que $J^n = I_n$ .
2. Le polynôme caractéristique de $J$ est $\chi_J(X) = \det(XI_n - J)$ . En développant par rapport à la première ligne : $\chi_J(X) = \begin{vmatrix} X & 0 & \dots & -1 -1 & X & \dots & 0 \vdots & \ddots & \ddots & \vdots 0 & \dots & -1 & X \end{vmatrix} = X^n + (-1)^{n+1}(-1)(-1)^{n-1} = X^n - 1$
3. Les racines de $\chi_J$ sont les racines $n$ -ièmes de l'unité $\omega_k = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$ . Comme $\chi_J$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , la matrice $J$ est diagonalisable. $\boxed{\text{Sp}(J) = \{ \omega_k \mid k \in \{0, \dots, n-1\} \}}$
4. Un vecteur propre $X = (x_1, \dots, x_n)^T$ associé à $\omega_k$ vérifie $JX = \omega_k X$ , ce qui donne le système : $x_n = \omega_k x_1$ , $x_1 = \omega_k x_2, \dots, x_{n-1} = \omega_k x_n$ . On trouve $x_j = \omega_k^{j-1} x_1$ . En choisissant $x_1 = 1$ , le vecteur propre est $V_k = (1, \omega_k, \omega_k^2, \dots, \omega_k^{n-1})^T$ . La matrice de passage $P$ est la matrice de Vandermonde : $\boxed{P = \left( \omega_j^{i-1} \right)_{1 \le i,j \le n}}$
Matrices circulantes.
1. En observant la structure de $M$ et les puissances de $J$ , on constate que la colonne $j$ de $M$ correspond à la combinaison linéaire des colonnes des $J^k$ . Plus précisément : $\boxed{M = a_0 I_n + a_1 J + a_2 J^2 + \dots + a_{n-1} J^{n-1} = Q(J)}$
2. Puisque $J$ est diagonalisable, tout polynôme en $J$ l'est aussi. Les valeurs propres de $M$ sont les $Q(\lambda)$ où $\lambda$ parcourt le spectre de $J$ . $\boxed{\text{Sp}(M) = \{ Q(\omega_k) \mid k \in \{0, \dots, n-1\} \}}$
3. Le déterminant est le produit des valeurs propres : $\boxed{\det(M) = \prod_{k=0}^{n-1} Q(\omega_k) = \prod_{k=0}^{n-1} \left( \sum_{j=0}^{n-1} a_j \omega_k^j \right)}$
4. $J \in \mathbb{C}[M]$ si et seulement si le polynôme minimal de $M$ est de degré $n$ . Cela revient à dire que les valeurs propres de $M$ sont deux à deux distinctes. $\boxed{J \in \mathbb{C}[M] \iff \forall (k, l) \in \{0, \dots, n-1\}^2, k \ne l \implies Q(\omega_k) \ne Q(\omega_l)}$
Application. Ici $a_j = \cos((j+1)\theta)$ . On a $Q(X) = \sum_{j=0}^{n-1} \cos((j+1)\theta) X^j$ . Les valeurs propres sont $\lambda_k = Q(e^{i \frac{2k\pi}{n}})$ . En utilisant $\cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ : $\lambda_k = \frac{1}{2} \sum_{j=0}^{n-1} (e^{i(j+1)\theta} \omega_k^j + e^{-i(j+1)\theta} \omega_k^j) = \frac{e^{i\theta}}{2} \sum_{j=0}^{n-1} (e^{i\theta}\omega_k)^j + \frac{e^{-i\theta}}{2} \sum_{j=0}^{n-1} (e^{-i\theta}\omega_k)^j$ Ce sont des sommes géométriques. Le déterminant final est $\prod \lambda_k$ .

Attention à l'ordre des coefficients $a_k$ . Selon que la matrice circule vers la droite ou la gauche, l'expression $Q(J)$ peut changer ( $J$ ou $J^T$ ). Ici, $a_1$ est en position $(2,1)$ , ce qui correspond bien à $J$ .