Déterminant de matrices circulantes et arithmétique

Soit $p$ un nombre premier et $(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{p-1})$ des éléments d'un corps $\mathbb{K}$ . On considère la matrice $A \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} a_{0} & a_{p-1} & \ldots & a_{1} a_{1} & a_{0} & \ddots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & a_{p-1} a_{p-1} & \ldots & a_{1} & a_{0} \end{pmatrix}

On note

J

la matrice de permutation circulaire élémentaire telle que

A = \sum_{k=0}^{p-1} a_k J^k

.

Dans cette question, on suppose $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ $K = C$ .
1. Déterminer les valeurs propres de $J$ et en déduire que $A$ est diagonalisable.
2. Exprimer $\det(A)$ à l'aide des racines $p$ -ièmes de l'unité.
On suppose désormais que $\mathbb{K} = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ $K = Z / p Z$ .
1. En utilisant la structure de l'anneau $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})[J]$ , montrer que $A^p = \left( \sum_{k=0}^{p-1} a_k \right) I_p$ .
2. En déduire une expression simplifiée de $\det(A)$ dans $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ .
3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients $a_i$ pour que $A$ soit inversible.
Soit $(a_0, \dots, a_{p-1}) \in \mathbb{Z}^p$ . Montrer la congruence suivante : $\det(A) \equiv \sum_{k=0}^{p-1} a_k \pmod p$

1.

Pour la question 1, remarquer que $J^p = I_p$ et utiliser le fait que $A$ est un polynôme en $J$ . Les valeurs propres d'un polynôme d'endomorphisme sont les images des valeurs propres par ce polynôme.

2.

Pour la question 2, utiliser l'identité de Frobenius dans un anneau de caractéristique $p$ : $(x+y)^p = x^p + y^p$ . Ne pas oublier que dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , on a $x^p = x$ .

3.

Pour la question 3, utiliser le morphisme de réduction modulo $p$ sur les matrices à coefficients entiers.

Idées clés

•

Utilisation de la réduction des matrices circulantes (base de diagonalisation commune).

•

Propriétés des corps de caractéristique $p$ (morphisme de Frobenius).

•

Lien entre déterminant et valeurs propres.

Résolution.

Cas complexe
1. La matrice $J$ est la matrice de l'endomorphisme de décalage cyclique. Son polynôme caractéristique est $\chi_J(X) = X^p - 1$ . Les valeurs propres de $J$ sont les racines $p$ -ièmes de l'unité : $\text{Sp}(J) = \{ \omega^k \mid k \in \{0, \dots, p-1\} \} \text{avec} \omega = e^{i\frac{2\pi}{p}}$ Comme $\chi_J$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , $J$ est diagonalisable. Puisque $A = P(J)$ avec $P(X) = \sum_{k=0}^{p-1} a_k X^k$ , $A$ est également diagonalisable dans la même base de vecteurs propres que $J$ .
2. Les valeurs propres de $A$ sont les $P(\lambda)$ où $\lambda \in \text{Sp}(J)$ . Ainsi : $\text{Sp}(A) = \{ P(\omega^k) \mid k \in \{0, \dots, p-1\} \}$ Le déterminant étant le produit des valeurs propres, on obtient : $\boxed{\det(A) = \prod_{k=0}^{p-1} \left( \sum_{j=0}^{p-1} a_j \omega^{kj} \right)}$
Cas du corps $\mathbb{Z$ /p\mathbb{Z}Z/pZ}
1. Dans un anneau de caractéristique $p$ , l'application $x \mapsto x^p$ est un morphisme d'anneaux (morphisme de Frobenius). Comme $J$ commute avec les scalaires, on a : $A^p = \left( \sum_{k=0}^{p-1} a_k J^k \right)^p = \sum_{k=0}^{p-1} (a_k)^p (J^k)^p$ D'après le petit théorème de Fermat, pour tout $a_k \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , on a $a_k^p = a_k$ . De plus, $J^p = I_p$ , donc $(J^k)^p = (J^p)^k = I_p$ . On en déduit : $A^p = \sum_{k=0}^{p-1} a_k I_p = \left( \sum_{k=0}^{p-1} a_k \right) I_p$ D'où le résultat : $\boxed{A^p = \left( \sum_{k=0}^{p-1} a_k \right) I_p}$
2. En passant au déterminant dans l'égalité précédente, on obtient : $\det(A^p) = \det \left[ \left( \sum_{k=0}^{p-1} a_k \right) I_p \right] = \left( \sum_{k=0}^{p-1} a_k \right)^p$ Par multiplicativité du déterminant, $\det(A^p) = (\det A)^p$ . En utilisant à nouveau le petit théorème de Fermat dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ( $x^p = x$ ), il vient : $\boxed{\det(A) = \sum_{k=0}^{p-1} a_k \pmod p}$
3. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Dans le corps $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , cela se traduit par : $\boxed{A \in GL_p(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \iff \sum_{k=0}^{p-1} a_k \not\equiv 0 \pmod p}$
Congruence pour des coefficients entiers Soit $\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ la projection canonique. On l'étend aux matrices par $\tilde{\pi} : \mathcal{M}_p(\mathbb{Z}) \to \mathcal{M}_p(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ . Le déterminant étant une expression polynomiale des coefficients, il commute avec la réduction modulo $p$ : $\pi(\det A) = \det(\tilde{\pi}(A))$ D'après le résultat de la question 2(b) appliqué à la matrice $\tilde{\pi}(A)$ , on a : $\det(\tilde{\pi}(A)) = \sum_{k=0}^{p-1} \pi(a_k) = \pi\left( \sum_{k=0}^{p-1} a_k \right)$ Ce qui donne bien la congruence recherchée : $\boxed{\det(A) \equiv \sum_{k=0}^{p-1} a_k \pmod p}$

Attention à ne pas utiliser la formule des valeurs propres avec les racines $p$ -ièmes de l'unité directement dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sans précaution, car ces racines n'existent pas nécessairement dans ce corps (elles n'y sont pas forcément toutes distinctes ou présentes). La méthode utilisant le morphisme de Frobenius est bien plus robuste.