Produit de Kronecker et diagonalisabilité

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et une matrice $M = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})$ . On définit la matrice par blocs $M \otimes A \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{K})$ par :

M \otimes A = \begin{pmatrix} aA & bA cA & dA \end{pmatrix}

Soient $M_1, M_2 \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})$ et $A_1, A_2 \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ . Montrer que l'on a la relation de produit suivante : $(M_1 \otimes A_1)(M_2 \otimes A_2) = (M_1 M_2) \otimes (A_1 A_2)$
On pose $B = \begin{pmatrix} A & 0 0 & A \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} a I_n & b I_n c I_n & d I_n \end{pmatrix}$ . Calculer les produits $BC$ et $CB$ en fonction de $M \otimes A$ .
Que peut-on dire de la matrice $M \otimes I_n$ lorsque $M$ est inversible ?
On suppose dans cette question que les matrices $A$ et $M$ sont diagonalisables sur $\mathbb{K}$ . Montrer que la matrice $M \otimes A$ est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ .

1.

Pour la question 1, effectuer un produit de matrices par blocs en utilisant les règles usuelles sur les sous-matrices.

2.

Pour la question 2, remarquer que $B = I_2 \otimes A$ et $C = M \otimes I_n$ . Appliquer ensuite le résultat de la question 1.

3.

Pour la question 4, utiliser les matrices de passage $P$ et $Q$ qui diagonalisent respectivement $A$ et $M$ . Construire une matrice de passage pour $M \otimes A$ en s'inspirant de la structure par blocs.

Idées clés

•

Calcul matriciel par blocs.

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Relation de compatibilité du produit de Kronecker.

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Stabilité de la diagonalisabilité par produit tensoriel (cas $2 \times 2$ ).

Résolution.

Posons $M_1 = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}$ et $M_2 = \begin{pmatrix} n_{11} & n_{12} n_{21} & n_{22} \end{pmatrix}$ . Par définition du produit par blocs, le bloc $(i,j)$ de $(M_1 \otimes A_1)(M_2 \otimes A_2)$ est donné par : $\sum_{k=1}^2 (m_{ik} A_1)(n_{kj} A_2) = \sum_{k=1}^2 (m_{ik} n_{kj}) (A_1 A_2) = \left( \sum_{k=1}^2 m_{ik} n_{kj} \right) A_1 A_2$ On reconnaît dans la parenthèse le coefficient d'indice $(i,j)$ de la matrice produit $M_1 M_2$ . On en déduit donc l'égalité : $\boxed{(M_1 \otimes A_1)(M_2 \otimes A_2) = (M_1 M_2) \otimes (A_1 A_2)}$
Remarquons d'abord les écritures suivantes sous forme de produit de Kronecker : $B = I_2 \otimes A \text{et} C = M \otimes I_n$ En utilisant la propriété de la question 1, nous obtenons : $BC = (I_2 \otimes A)(M \otimes I_n) = (I_2 M) \otimes (A I_n) = M \otimes A$ De même pour l'autre sens : $CB = (M \otimes I_n)(I_2 \otimes A) = (M I_2) \otimes (I_n A) = M \otimes A$ On conclut que : $\boxed{BC = CB = M \otimes A}$
Supposons $M$ inversible. D'après la question 1, on a : $(M \otimes I_n)(M^{-1} \otimes I_n) = (M M^{-1}) \otimes (I_n I_n) = I_2 \otimes I_n = I_{2n}$ Ainsi, $M \otimes I_n$ est inversible et : $\boxed{(M \otimes I_n)^{-1} = M^{-1} \otimes I_n}$
Puisque $A$ et $M$ sont diagonalisables, il existe $P \in GL_n(\mathbb{K})$ et $Q = \begin{pmatrix} q_{11} & q_{12} q_{21} & q_{22} \end{pmatrix} \in GL_2(\mathbb{K})$ telles que : $P^{-1}AP = D_A \text{et} Q^{-1}MQ = D_M$ où $D_A$ et $D_M = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ sont diagonales. Considérons la matrice $R = Q \otimes P = \begin{pmatrix} q_{11}P & q_{12}P q_{21}P & q_{22}P \end{pmatrix}$ . D'après la question 3 étendue au produit général, $R$ est inversible et $R^{-1} = Q^{-1} \otimes P^{-1}$ . Calculons alors la matrice semblable à $M \otimes A$ via $R$ : $R^{-1} (M \otimes A) R = (Q^{-1} \otimes P^{-1}) (M \otimes A) (Q \otimes P)$ En appliquant deux fois la règle du produit de la question 1 : $R^{-1} (M \otimes A) R = (Q^{-1}MQ) \otimes (P^{-1}AP) = D_M \otimes D_A$ Or, $D_M \otimes D_A = \begin{pmatrix} \lambda_1 D_A & 0 0 & \lambda_2 D_A \end{pmatrix}$ est une matrice diagonale car $D_A$ est elle-même diagonale. $\boxed{M \otimes A \text{ est donc semblable à une matrice diagonale, elle est diagonalisable.}}$

Une erreur classique est d'essayer de calculer le polynôme caractéristique de $M \otimes A$ directement sans utiliser la structure de produit. C'est possible mais beaucoup plus laborieux. L'utilisation de la relation $(M_1 \otimes A_1)(M_2 \otimes A_2) = (M_1 M_2) \otimes (A_1 A_2)$ simplifie grandement les preuves de réduction.