Réduction d'une structure de produit tensoriel par blocs

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . On définit la matrice $M \in \mathcal{M}_{2 n}(\mathbb{C})$ par :

M = \begin{pmatrix} A & 2 A -A & 2 A \end{pmatrix}

Montrer que la matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si la matrice $M$ est diagonalisable.

1.

Remarquer que $M$ peut s'écrire comme un produit par blocs faisant intervenir $J = \begin{pmatrix} 1 & 2 -1 & 2 \end{pmatrix}$ .

2.

Diagonaliser la matrice $J$ dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ .

3.

Utiliser une matrice de passage par blocs pour ramener l'étude de $M$ à celle d'une matrice diagonale par blocs.

Idées clés

•

Diagonalisation d'une petite matrice auxiliaire.

•

Extension de la diagonalisation aux blocs (similitude par blocs).

•

Lien entre diagonalisabilité d'une somme directe et de ses composantes.

Résolution.

Considérons la matrice $J = \begin{pmatrix} 1 & 2 -1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ . Son polynôme caractéristique est :

\chi_J(X) = \det(X I_2 - J) = (X-1)(X-2) + 2 = X^2 - 3X + 4

Le discriminant est $\Delta = 9 - 16 = -7$ . Les racines sont complexes conjuguées :

\lambda_1 = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}   \text{et}   \lambda_2 = \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}

Puisque $J$ possède deux valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ . Il existe donc $P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} p_{21} & p_{22} \end{pmatrix} \in GL_2(\mathbb{C})$ telle que :

P^{-1} J P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}

Définissons alors la matrice de passage par blocs $\mathcal{P} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ par :

\mathcal{P} = \begin{pmatrix} p_{11} I_n & p_{12} I_n p_{21} I_n & p_{22} I_n \end{pmatrix}

Cette matrice est inversible (c'est le produit de Kronecker $P \otimes I_n$ ) et son inverse est $\mathcal{P}^{-1} = \begin{pmatrix} q_{11} I_n & q_{12} I_n q_{21} I_n & q_{22} I_n \end{pmatrix}$ où les $q_{ij}$ sont les coefficients de $P^{-1}$ .

Par un calcul de produit par blocs :

\mathcal{P}^{-1} M \mathcal{P} = \begin{pmatrix} \lambda_1 A & 0 0 & \lambda_2 A \end{pmatrix}

Sens direct ( $\implies$ ) : Si $A$ est diagonalisable, alors $\lambda_1 A$ et $\lambda_2 A$ le sont aussi. Une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont diagonalisables est diagonalisable. Ainsi, $\text{diag}(\lambda_1 A, \lambda_2 A)$ est diagonalisable, et par similitude, $M$ l'est aussi.

Sens réciproque ( $\impliedby$ ) : Supposons $M$ diagonalisable. Alors $\text{diag}(\lambda_1 A, \lambda_2 A)$ est diagonalisable. Il existe un polynôme scindé à racines simples $Q$ tel que $Q(\text{diag}(\lambda_1 A, \lambda_2 A)) = 0$ . Cela implique :

\begin{pmatrix} Q(\lambda_1 A) & 0 0 & Q(\lambda_2 A) \end{pmatrix} = 0 \implies Q(\lambda_1 A) = 0

Comme $\lambda_1 \neq 0$ , la matrice $A$ est annulée par le polynôme $R(X) = Q(\lambda_1 X)$ . Puisque $Q$ est scindé à racines simples, ses racines sont $\{\mu_1, \dots, \mu_k\}$ . Les racines de $R$ sont alors $\{\frac{\mu_1}{\lambda_1}, \dots, \frac{\mu_k}{\lambda_1}\}$ , elles sont donc également simples.

\boxed{\text{ $A$ est donc diagonalisable.}}

Ne pas oublier de justifier que $\lambda_1 \neq 0$ pour assurer que le polynôme $R(X)$ garde des racines simples. Ici $\lambda_1 \lambda_2 = \det(J) = 4 \neq 0$ .