Réduction du produit de Kronecker

Résolution.

1. Notons $M = (A \otimes B)(C \otimes D)$. Par définition du produit par blocs, le bloc $(i,j)$ de $M$, noté $M_{i,j}$, est :
   $$M_{i,j} = \sum_{k=1}^n (a_{i,k} B)(c_{k,j} D) = \left( \sum_{k=1}^n a_{i,k} c_{k,j} \right) BD$$
   On reconnaît dans la parenthèse le terme général de la matrice $AC$, noté $(AC)_{i,j}$. Ainsi :
   $$M_{i,j} = (AC)_{i,j} BD$$
   C'est précisément la définition de la matrice $(AC) \otimes (BD)$. Donc :
   $$\boxed{ (A \otimes B)(C \otimes D) = (AC) \otimes (BD) }$$

2. Supposons $A$ et $B$ trigonalisables sur $\mathbb{K}$. Il existe $P \in GL_n(\mathbb{K})$ et $Q \in GL_p(\mathbb{K})$ telles que $T_A = P^{-1}AP$ et $T_B = Q^{-1}BQ$ soient triangulaires supérieures. En utilisant la propriété précédente de façon répétée :
   $$(P \otimes Q)(T_A \otimes T_B)(P^{-1} \otimes Q^{-1}) = (PT_A P^{-1}) \otimes (QT_B Q^{-1}) = A \otimes B$$
   Comme $(P \otimes Q)(P^{-1} \otimes Q^{-1}) = I_n \otimes I_p = I_{np}$, la matrice $P \otimes Q$ est inversible d'inverse $P^{-1} \otimes Q^{-1}$. La matrice $T_A \otimes T_B$ est une matrice par blocs dont les blocs sous la diagonale sont nuls (car $T_A$ est triangulaire). Les blocs diagonaux sont de la forme $(T_A)_{i,i} T_B$, qui sont eux-mêmes des matrices triangulaires supérieures. Ainsi, $T_A \otimes T_B$ est triangulaire supérieure, ce qui prouve que $A \otimes B$ est trigonalisable.

3. 1. Si $A$ et $B$ sont diagonalisables, on reprend le raisonnement précédent avec $D_A = P^{-1}AP$ et $D_B = Q^{-1}BQ$ diagonales. La matrice $D_A \otimes D_B$ est alors une matrice diagonale par blocs dont chaque bloc diagonal est lui-même diagonal.
      $$\boxed{ A \otimes B \text{ est diagonalisable.} }$$

   2. Soient $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ les valeurs propres de $A$ associées à une base de vecteurs propres $(X_1, \dots, X_n)$, et $(\mu_1, \dots, \mu_p)$ celles de $B$ associées à $(Y_1, \dots, Y_p)$. D'après la question 1 :
      $$(A \otimes B)(X_i \otimes Y_j) = (AX_i) \otimes (BY_j) = (\lambda_i X_i) \otimes (\mu_j Y_j) = \lambda_i \mu_j (X_i \otimes Y_j)$$
      Les $np$ vecteurs $(X_i \otimes Y_j)_{i,j}$ forment une base de $\mathbb{K}^{np}$ (ils sont linéairement indépendants par propriété du produit de Kronecker). Spectre : $\text{Sp}(A \otimes B) = \{ \lambda \mu \mid \lambda \in \text{Sp}(A), \mu \in \text{Sp}(B) \}$. Espaces propres : Pour tout $\gamma \in \text{Sp}(A \otimes B)$,
      $$\boxed{ E_\gamma(A \otimes B) = \bigoplus_{\lambda \mu = \gamma} E_\lambda(A) \otimes E_\mu(B) }$$

4. 1. Supposons $A \neq 0$ diagonalisable. Si $B$ est diagonalisable, alors $A \otimes B$ l'est d'après 3.(a). Réciproquement, supposons $A \otimes B$ diagonalisable. Comme $A \neq 0$, $A$ possède au moins une valeur propre $\lambda \neq 0$. Soit $X$ un vecteur propre associé. L'application $M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K}) \mapsto A \otimes M$ est linéaire. L'espace $\{ X \otimes Y \mid Y \in \mathbb{K}^p \}$ est stable par $A \otimes B$ et l'endomorphisme induit est semblable à $Y \mapsto \lambda B Y$. Comme la restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable, $\lambda B$ est diagonalisable. Puisque $\lambda \neq 0$, $B$ est diagonalisable.

   2. Si $B=0$, $A \otimes B = 0$ est diagonalisable. Supposons $A$ non diagonalisable et $B \neq 0$. Si $B$ possède une valeur propre $\mu \neq 0$, alors par un argument similaire à ci-dessus, si $A \otimes B$ était diagonalisable, $A$ le serait (en restreignant à un sous-espace lié à un vecteur propre de $B$). Si $B \neq 0$ n'a que $0$ pour valeur propre, alors $B$ est nilpotente non nulle. Alors $A \otimes B$ est nilpotente (car $(A \otimes B)^k = A^k \otimes B^k = 0$ pour $k$ assez grand). Une matrice nilpotente est diagonalisable si et seulement si elle est nulle. Or $A \otimes B = 0$ avec $A \neq 0$ et $B \neq 0$ est impossible (le produit de Kronecker de deux matrices non nulles est non nul).
      $$\boxed{ A \otimes B \text{ diag. } \iff B = 0 }$$