Spectre d'une suite de matrices par blocs

Résolution.

1. Notons $\text{Sp}(A) = \{\lambda_1, \lambda_2\}$ les valeurs propres de $A$ (éventuellement confondues). Soient $V_i = \begin{pmatrix} x_i$
   y_i \end{pmatrix} et $V_j = \begin{pmatrix} x_j$
   y_j \end{pmatrix} deux vecteurs propres de $A$ associés respectivement à $\lambda_i$ et $\lambda_j$.

   Considérons le vecteur par blocs suivant dans $\mathbb{K}^4$ :

   $$W_{i,j} = \begin{pmatrix} x_i V_j$$
   y_i V_j \end{pmatrix}

   Calculons le produit $A_2 W_{i,j}$ en utilisant la définition par blocs de $A_2$ :

   $$A_2 W_{i,j} = \begin{pmatrix} a_{1,1} A & a_{1,2} A$$
   a_{2,1} A & a_{2,2} A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_i V_j
   y_i V_j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} x_i (A V_j) + a_{1,2} y_i (A V_j)
   a_{2,1} x_i (A V_j) + a_{2,2} y_i (A V_j) \end{pmatrix}

   Comme $A V_j = \lambda_j V_j$, nous obtenons :

   $$A_2 W_{i,j} = \lambda_j \begin{pmatrix} (a_{1,1} x_i + a_{1,2} y_i) V_j$$
   (a_{2,1} x_i + a_{2,2} y_i) V_j \end{pmatrix} = \lambda_j \begin{pmatrix} (A V_i)_1 V_j
   (A V_i)_2 V_j \end{pmatrix}

   Or $A V_i = \lambda_i V_i$, donc $(A V_i)_1 = \lambda_i x_i$ et $(A V_i)_2 = \lambda_i y_i$. On en déduit :

   $$A_2 W_{i,j} = \lambda_j \begin{pmatrix} \lambda_i x_i V_j$$
   \lambda_i y_i V_j \end{pmatrix} = \lambda_i \lambda_j W_{i,j}

   Ainsi, les valeurs propres de $A_2$ sont les produits des valeurs propres de $A$.

   $$\boxed{\text{Sp}(A_2) = \{ \lambda \mu \mid (\lambda, \mu) \in \text{Sp}(A)^2 \}}$$

2. Montrons par récurrence sur $n$ que $\text{Sp}(A_n) = \{ \prod_{k=1}^n \mu_k \mid \forall k, \mu_k \in \text{Sp}(A) \}$. L'initialisation est immédiate pour $n=1$. Supposons la propriété vraie au rang $n$. $A_{n+1}$ est définie par blocs à partir de $A$ et de $A_n$ :
   $$A_{n+1} = \begin{pmatrix} a_{1,1} A_n & a_{1,2} A_n$$
   a_{2,1} A_n & a_{2,2} A_n \end{pmatrix}

   Par un calcul identique à la question 1 (en remplaçant $A$ par $A_n$ dans les blocs), si $V$ est propre pour $A$ ($\lambda$) et $W$ est propre pour $A_n$ ($\mu$), alors le vecteur formé par blocs avec les composantes de $V$ et le vecteur $W$ est propre pour $A_{n+1}$ associé à $\lambda\mu$.

   Ainsi, les valeurs propres de $A_{n+1}$ sont les produits d'une valeur propre de $A$ et d'une valeur propre de $A_n$. Par hypothèse de récurrence :

   $$\boxed{\text{Sp}(A_n) = \{ \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \mid k \in \{0, \dots, n\} \}}$$
   où $\lambda_1, \lambda_2$ sont les valeurs propres de $A$.

3. Soit $\mathcal{B} = (V_1, V_2)$ une base de $\mathbb{K}^2$ formée de vecteurs propres de $A$. Pour $n=2$, on a vu que les vecteurs $W_{i,j} = \begin{pmatrix} (V_i)_1 V_j$
   (V_i)_2 V_j \end{pmatrix} pour $i,j \in \{1,2\}$ sont propres pour $A_2$.

   Ces 4 vecteurs forment une famille libre. En effet, si $\sum c_{i,j} W_{i,j} = 0$, alors :

   $$\begin{pmatrix} \sum_i (V_i)_1 (\sum_j c_{i,j} V_j)$$
   \sum_i (V_i)_2 (\sum_j c_{i,j} V_j) \end{pmatrix} = 0
   Comme $(V_j)$ est une base, chaque $\sum_j c_{i,j} V_j$ est un vecteur $U_i$. On a alors $\sum_i (V_i)_1 U_i = 0$ et $\sum_i (V_i)_2 U_i = 0$, ce qui mène à la liberté par structure de base.

   Par récurrence, on construit ainsi une base de $2^n$ vecteurs propres pour $A_n$ dans $\mathbb{K}^{2^n}$.

   $$\boxed{A_n \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_{2^n}(\mathbb{K})}$$