Étude spectrale du laplacien discret bidimensionnel

1. Structure de l'espace et des translations

1. Une fonction $u \in E_n$ est entièrement déterminée par ses valeurs sur le domaine $[|0, n-1|]^2$. Il existe donc un isomorphisme évident entre $E_n$ et $\mathbb{C}^{n^2}$.
   $$\boxed{\dim E_n = n^2}$$

2. La linéarité de $T_1$ et $T_2$ est immédiate par définition des opérations sur les fonctions. La $n$-périodicité est préservée par translation. De plus, pour tout $u \in E_n$ et $(p,q) \in \mathbb{Z}^2$ :
   $$T_1(T_2(u))(p,q) = T_2(u)(p+1,q) = u(p+1,q+1)$$
   $$T_2(T_1(u))(p,q) = T_1(u)(p,q+1) = u(p+1,q+1)$$
   On a donc bien $T_1 \circ T_2 = T_2 \circ T_1$.

3. On remarque que $T_1^n = \text{Id}_{E_n}$ et $T_2^n = \text{Id}_{E_n}$. Le polynôme $X^n - 1$ est un polynôme annulateur pour $T_1$ et $T_2$. Comme ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$, $T_1$ et $T_2$ sont diagonalisables. Puisqu'ils sont diagonalisables et qu'ils commutent, ils sont simultanément diagonalisables.

2. Diagonalisation du laplacien

1. Soit $\omega = e^{2i\pi/n}$. Pour $(r,s) \in [|0, n-1|]^2$, définissons $f_{r,s} : (p,q) \mapsto \omega^{rp + sq}$. On vérifie aisément que $T_1(f_{r,s}) = \omega^r f_{r,s}$ et $T_2(f_{r,s}) = \omega^s f_{r,s}$. La famille $(f_{r,s})_{0 \leq r,s < n}$ est constituée de $n^2$ vecteurs propres. On montre qu'elle est libre (par exemple via le produit scalaire hermitien canonique sur $E_n$), c'est donc une base de $E_n$.

2. On observe que $\Delta_n = 4 \text{Id} - T_1 - T_1^{-1} - T_2 - T_2^{-1}$. Comme chaque $f_{r,s}$ est propre pour $T_1$ et $T_2$, il l'est aussi pour $\Delta_n$. La valeur propre associée à $f_{r,s}$ est :
   $$\lambda_{r,s} = 4 - \omega^r - \omega^{-r} - \omega^s - \omega^{-s}$$
   En utilisant $\omega^k + \omega^{-k} = 2\cos(2k\pi/n)$, on obtient :
   $$\boxed{\lambda_{r,s} = 4 - 2\cos\left(\frac{2r\pi}{n}\right) - 2\cos\left(\frac{2s\pi}{n}\right) = 4\left(\sin^2\frac{r\pi}{n} + \sin^2\frac{s\pi}{n}\right)}$$

3. $\lambda_{r,s} = 0$ si et seulement si $\sin(r\pi/n) = 0$ et $\sin(s\pi/n) = 0$. Pour $r,s \in [|0, n-1|]$, cela impose $r=0$ et $s=0$. L'espace propre associé à la valeur propre $0$ est donc de dimension $1$ (engendré par les fonctions constantes).
   $$\boxed{0 \text{ est une valeur propre simple de } \Delta_n}$$

3. Comportement asymptotique

1. Le polynôme caractéristique est $P_n(X) = \prod_{r,s} (X - \lambda_{r,s})$. En dérivant : $P_n'(X) = \sum_{j,k} \prod_{(r,s) \neq (j,k)} (X - \lambda_{r,s})$. En $X=0$, seul le terme correspondant à la valeur propre nulle ($\lambda_{0,0}=0$) est non nul.
   $$\boxed{P_n'(0) = \prod_{(r,s) \neq (0,0)} (-\lambda_{r,s}) = (-1)^{n^2-1} \prod_{(r,s) \neq (0,0)} \lambda_{r,s}}$$

2. On cherche $\ln |P_n'(0)| = \sum_{(r,s) \neq (0,0)} \ln(\lambda_{r,s})$. Posons $A_n = \prod_{(r,s) \neq (0,0)} \lambda_{r,s}$. Soit $x_r = 4 - 2\cos(2r\pi/n)$. On a $A_n = \left(\prod_{s=1}^{n-1} \lambda_{0,s}\right) \times \prod_{r=1}^{n-1} \left(\prod_{s=0}^{n-1} (x_r - 2\cos(2s\pi/n))\right)$. Utilisons l'identité $\prod_{s=0}^{n-1} (2\cosh \theta - 2\cos(2s\pi/n)) = 2\cosh(n\theta) - 2$. Pour chaque $r \in [|1, n-1|]$, on pose $2\cosh \theta_r = x_r = 4 - 2\cos(2r\pi/n)$. Alors $\prod_{s=0}^{n-1} (x_r - 2\cos(2s\pi/n)) = (e^{n\theta_r/2} - e^{-n\theta_r/2})^2 \sim e^{n\theta_r}$ (si $\theta_r > 0$). Par ailleurs, $\prod_{s=1}^{n-1} \lambda_{0,s} = \prod_{s=1}^{n-1} (2 - 2\cos(2s\pi/n)) = n^2$. Ainsi, $\ln A_n \sim n \sum_{r=1}^{n-1} \theta_r$. La somme est une somme de Riemann pour l'intégrale :
   $$I = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \text{argcosh}\left(2 - \cos t\right)   dt$$
   On obtient finalement un équivalent de la forme $C \cdot n^2$.
   $$\boxed{\ln |P_n'(0)| \sim \frac{n^2}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \ln\left(g(t)\right) dt}$$
   où $g(t)$ est la solution $>1$ de $g(t) + 1/g(t) = 4 - 2\cos t$.