Matrices à coefficients positifs

Résolution.

1. Sens direct ($\implies$) : Supposons $A \geq 0$. Soit $X \geq 0$. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, le $i$-ème coefficient de $AX$ est :
   $$(AX)_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j} x_j$$
   Comme chaque $a_{i,j} \geq 0$ et chaque $x_j \geq 0$ par hypothèse, chaque produit $a_{i,j} x_j$ est positif ou nul. Par somme de termes positifs, on en déduit que $(AX)_i \geq 0$ pour tout $i$, d'où $AX \geq 0$.

   Sens réciproque ($\impliedby$) : Supposons que pour tout $X \geq 0$, on ait $AX \geq 0$. Considérons les vecteurs de la base canonique $(E_1, \dots, E_n)$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$. Pour chaque $j \in \{1, \dots, n\}$, on a clairement $E_j \geq 0$. D'après l'hypothèse, on a donc $A E_j \geq 0$. Or, le vecteur $A E_j$ correspond exactement à la $j$-ème colonne de la matrice $A$. Ses composantes sont les $(a_{i,j})_{1 \leq i \leq n}$. On en conclut que pour tous $i, j$, $a_{i,j} \geq 0$, soit :

   $$\boxed{A \geq 0}$$

2. Soit $A \in GL_n(\mathbb{R})$. Considérons la propriété $\mathcal{P} : \forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),   AX \geq 0 \implies X \geq 0$. Puisque $A$ est inversible, l'application $X \mapsto AX$ est une bijection de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ dans lui-même. On peut donc poser le changement de variable $Y = AX$, ce qui équivaut à $X = A^{-1} Y$. La propriété $\mathcal{P}$ se reformule alors ainsi :
   $$\forall Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),   Y \geq 0 \implies A^{-1} Y \geq 0$$
   D'après le résultat de la question 1 appliqué à la matrice $A^{-1}$, cette condition est équivalente à :
   $$\boxed{A^{-1} \geq 0}$$

3. Soit $A$ une telle matrice. Notons $B = A^{-1}$. On a $A \geq 0$ et $B \geq 0$. Par définition de l'inverse, $AB = I_n$. Pour tout $i, j \in \{1, \dots, n\}$, on a :
   $$\sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j} = \delta_{i,j}$$
   Cas $i \neq j$ : On a $\sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j} = 0$. Puisque tous les $a_{i,k}$ et $b_{k,j}$ sont positifs, chaque terme du produit est nul :
   $$\forall k \in \{1, \dots, n\},   a_{i,k} b_{k,j} = 0$$
   Analyse des lignes de $A$ : Soit $i \in \{1, \dots, n\}$. Comme $A$ est inversible, la $i$-ème ligne de $A$ ne peut pas être nulle. Il existe donc au moins un indice $k_i$ tel que $a_{i,k_i} > 0$. D'après ce qui précède, pour tout $j \neq i$, on doit avoir $b_{k_i, j} = 0$. Ainsi, dans la $k_i$-ème ligne de $B$, tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement celui d'indice $j=i$. Comme $B$ est inversible, cette ligne n'est pas nulle, donc on a nécessairement $b_{k_i, i} > 0$. Si la $i$-ème ligne de $A$ possédait un autre coefficient strictement positif $a_{i, k'}$, on montrerait de même que la ligne $k'$ de $B$ n'a que son $i$-ème coefficient non nul. Cela signifierait que les lignes $k_i$ et $k'$ de $B$ sont proportionnelles, ce qui contredit l'inversibilité de $B$. Conclusion : Chaque ligne de $A$ contient exactement un coefficient strictement positif, et il en est de même pour chaque colonne (par un raisonnement symétrique ou en considérant ${}^t A$). L'ensemble recherché est celui des matrices de la forme $A = P D$ où $P$ est une matrice de permutation et $D$ une matrice diagonale à coefficients strictement positifs. On appelle ces matrices des matrices monomiales positives.
   $$\boxed{ A \in \{ P D \mid P \in \mathfrak{S}_n, D = \text{diag}(d_1, \dots, d_n), d_i > 0 \} }$$