Vecteur invariant d'une matrice stochastique positive

Résolution.

1. Soit $X = \begin{pmatrix} 1$
   \vdots
   1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}). Par hypothèse sur les sommes de lignes de $A$, le $i$-ème coefficient du produit $AX$ est :
   $$(AX)_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j} \cdot 1 = 1$$
   On en déduit que $AX = X$. Ainsi, $1$ est une valeur propre de $A$. Comme une matrice et sa transposée ont le même polynôme caractéristique, elles ont le même spectre :
   $$\chi_A = \chi_{A^T} \implies \text{Sp}(A) = \text{Sp}(A^T)$$
   Ainsi, $1 \in \text{Sp}(A^T)$. Il existe donc un vecteur colonne non nul $U \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ tel que $A^T U = U$. En transposant cette relation, on obtient $U^T A = U^T$. En posant $V = U^T \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})$, on a bien trouvé un vecteur ligne non nul tel que :
   $$\boxed{VA = V}$$

2. Soit $V = (v_1, \dots, v_n)$ un vecteur ligne tel que $VA = V$. Cela se traduit par :
   $$\forall j \in \{1, \dots, n\},   v_j = \sum_{i=1}^n v_i a_{i,j}$$
   Appliquons l'inégalité triangulaire à chaque coordonnée :
   $$\forall j \in \{1, \dots, n\},   |v_j| = \left| \sum_{i=1}^n v_i a_{i,j} \right| \le \sum_{i=1}^n |v_i| a_{i,j}$$
   Notons $w_j = \sum_{i=1}^n |v_i| a_{i,j}$ la $j$-ème coordonnée du vecteur ligne $|V|A$. Nous venons de montrer que $|v_j| \le w_j$ pour tout $j$. Sommons ces inégalités pour $j$ allant de $1$ à $n$ :
   $$\sum_{j=1}^n |v_j| \le \sum_{j=1}^n w_j = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |v_i| a_{i,j}$$
   En échangeant l'ordre des sommes (Fubini fini) :
   $$\sum_{j=1}^n w_j = \sum_{i=1}^n |v_i| \left( \sum_{j=1}^n a_{i,j} \right)$$
   Comme $\sum_{j=1}^n a_{i,j} = 1$ pour tout $i$, on obtient :
   $$\sum_{j=1}^n |v_j| \le \sum_{i=1}^n |v_i|$$
   Puisque la somme des membres de gauche est égale à la somme des membres de droite et que chaque terme vérifie $|v_j| \le w_j$, il y a nécessairement égalité pour chaque $j$ :
   $$\forall j \in \{1, \dots, n\},   |v_j| = \sum_{i=1}^n |v_i| a_{i,j}$$
   Ce qui signifie exactement :
   $$\boxed{|V|A = |V|}$$

3. Existence : D'après la question 1, il existe $V \neq 0$ tel que $VA = V$. D'après la question 2, $|V|A = |V|$. Le vecteur $|V|$ est non nul et à coordonnées positives ou nulles. Soit $S = \sum_{j=1}^n |v_j| > 0$. Le vecteur $W = \frac{1}{S} |V|$ vérifie alors les trois conditions (a), (b) et (c). Stricte positivité : Remarquons que pour ce vecteur $W$, on a $w_j = \sum_{i=1}^n w_i a_{i,j}$. Comme $W \neq 0$ et $w_i \ge 0$, il existe au moins un indice $i_0$ tel que $w_{i_0} > 0$. Puisque $a_{i,j} > 0$ pour tous $i, j$, on a pour tout $j$ :
   $$w_j \ge w_{i_0} a_{i_0, j} > 0$$
   Ainsi, toutes les coordonnées de $W$ sont strictement positives. Unicité : Supposons qu'il existe deux tels vecteurs $W_1$ et $W_2$. Soit $E_1 = \{ V \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R}) \mid VA = V \}$. Si $W_1 \neq W_2$, alors $W_1$ et $W_2$ ne sont pas colinéaires (car leur somme des coordonnées est 1). Considérons $Z = W_1 - W_2$. Alors $Z \in E_1$ et $Z \neq 0$. De plus, $\sum z_j = \sum (w_{1,j} - w_{2,j}) = 1 - 1 = 0$. D'après la question 2, on a $|Z|A = |Z|$. D'après l'argument de stricte positivité ci-dessus, comme $|Z| \neq 0$, toutes les coordonnées de $|Z|$ sont strictement positives : $|z_j| > 0$. Cependant, l'égalité $|z_j| = \left| \sum_i z_i a_{i,j} \right| = \sum_i |z_i| a_{i,j}$ avec $a_{i,j} > 0$ impose (cas d'égalité de l'inégalité triangulaire) que tous les $z_i$ non nuls ont le même signe. Si tous les $z_i$ ont le même signe et sont non nuls, leur somme $\sum z_i$ ne peut pas être nulle. C'est une contradiction. Donc $Z=0$ et :
   $$\boxed{W_1 = W_2}$$