Rayon spectral et norme de Schur

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique, la norme associée étant notée $\|\cdot\|$ . Pour deux vecteurs $X, Y \in \mathbb{R}^n$ , on note $X \leq Y$ (respectivement $X < Y$ ) si pour tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , $x_k \leq y_k$ (respectivement $x_k < y_k$ ). On adopte la même notation pour les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice dont tous les coefficients sont positifs ou nuls. On suppose qu'il existe deux réels $\alpha, \beta > 0$ et deux vecteurs $Y, Z \in \mathbb{R}^n$ à composantes strictement positives tels que : $AY \leq \alpha Z \text{et} {}^tAZ \leq \beta Y$ Démontrer que pour tout vecteur $X \in \mathbb{R}^n$ , on a l'inégalité : $\|AX\| \leq \sqrt{\alpha \beta} \|X\|$
Soit $M = (m_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On note $|M|$ la matrice dont les coefficients sont les modules $|m_{i,j}|$ . Montrer que pour tout $X = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{C}^n$ : $\sum_{i=1}^n |(MX)_i|^2 \leq \left( \sum_{j=1}^n |x_j|^2 \right) \left( \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n |m_{i,j}| \right) \left( \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |m_{i,j}| \right)$

1.

Pour la question 1, on pourra utiliser le fait que la norme d'opérateur $\|A\|_2$ est égale à la racine carrée du rayon spectral de ${}^tAA$ . On admettra ou on redémontrera qu'une matrice à coefficients positifs possède un vecteur propre à coefficients positifs associé à son rayon spectral (Théorème de Perron-Frobenius).

2.

Pour la question 2, on pourra appliquer le résultat de la question 1 à la matrice $A = |M|$ en choisissant judicieusement les vecteurs $Y$ et $Z$ .

Idées clés

•

Lien entre $\|A\|_2$ et le rayon spectral de ${}^tAA$ .

•

Utilisation d'un vecteur propre positif pour une matrice positive (Perron-Frobenius).

•

Majoration par la norme de Schur (test de Schur).

Résolution.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ à coefficients positifs. On cherche à majorer la norme subordonnée $\|A\| = \sup_{X \neq 0} \frac{\|AX\|}{\|X\|}$ . On sait que pour toute matrice $A$ , $\|A\|^2$ est égal au rayon spectral de la matrice symétrique positive $M = {}^tAA$ . Notons $\rho$ ce rayon spectral. D'après le théorème de Perron-Frobenius pour les matrices à coefficients positifs, il existe un vecteur propre $V \in \mathbb{R}^n$ non nul, à composantes positives ( $V \geq 0$ ), tel que : $MV = \rho V$ Utilisons les hypothèses $AY \leq \alpha Z$ et ${}^tAZ \leq \beta Y$ avec $Y, Z > 0$ . Par positivité des coefficients de $V$ , nous pouvons multiplier ces inégalités matricielles : D'une part, en multipliant $AY \leq \alpha Z$ par ${}^tV {}^tA$ (qui est à coefficients positifs car $V \geq 0$ et ${}^tA \geq 0$ ) : ${}^tV {}^tA A Y \leq \alpha {}^tV {}^tA Z$ D'autre part, en multipliant ${}^tAZ \leq \beta Y$ à gauche par ${}^tV$ : ${}^tV {}^tA Z \leq \beta {}^tV Y$ En combinant ces deux inégalités, il vient : ${}^tV ( {}^tA A ) Y \leq \alpha \beta {}^tV Y$ Or, nous savons que ${}^tAA V = \rho V$ , ce qui implique ${}^tV {}^tAA = {}^t({}^tAA V) = \rho {}^tV$ par symétrie de ${}^tAA$ . L'inégalité précédente devient : $\rho ({}^tV Y) \leq \alpha \beta ({}^tV Y)$ Puisque $Y$ est strictement positif ( $Y > 0$ ) et $V$ est positif et non nul ( $V \geq 0, V \neq 0$ ), le produit scalaire ${}^tV Y$ est strictement positif. On peut donc diviser par ce réel : $\boxed{\rho \leq \alpha \beta}$ Comme $\|A\| = \sqrt{\rho}$ , on en déduit immédiatement que pour tout $X \in \mathbb{R}^n$ : $\boxed{\|AX\| \leq \sqrt{\alpha \beta} \|X\|}$
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ $M \in M_{n} (C)$ et $X \in \mathbb{C}^n$ $X \in C^{n}$ . Par l'inégalité triangulaire, pour chaque composante $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ $i \in [[1, n]]$ :
$|(MX)_i| = \left| \sum_{j=1}^n m_{i,j} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^n |m_{i,j}| |x_j| = (|M| |X|)_i$
En élevant au carré et en sommant sur $i$ $i$ , on obtient :
$\sum_{i=1}^n |(MX)_i|^2 \leq \||M| |X|\|^2$
Appliquons le résultat de la question 1. à la matrice $A = |M|$ $A = ∣ M ∣$ . Posons $Y = Z = \begin{pmatrix} 1 \vdots 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$ $Y = Z = 1 ⋮ 1 \in R^{n}$ . Ce vecteur est bien strictement positif. Calculons $AY$ $A Y$ et ${}^tAZ$ $^{t} A Z$ :
- $AY$ est le vecteur dont la $i$ -ème composante est la somme des modules de la $i$ -ème ligne de $M$ : $(AY)_i = \sum_{j=1}^n |m_{i,j}|$ .
- ${}^tAZ$ est le vecteur dont la $j$ -ème composante est la somme des modules de la $j$ -ème colonne de $M$ : $({}^tAZ)_j = \sum_{i=1}^n |m_{i,j}|$ .
Soient :
$\alpha = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n |m_{i,j}| \text{et} \beta = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |m_{i,j}|$
Alors on a bien $AY \leq \alpha Y$ $A Y \leq α Y$ (car chaque composante est majorée par le max) et ${}^tAZ \leq \beta Z$ $^{t} A Z \leq βZ$ . En appliquant l'inégalité de la question 1., on obtient :
$\||M| |X|\|^2 \leq \alpha \beta \||X|\|^2$
Comme $\||X|\|^2 = \sum |x_j|^2$ $∥∣ X ∣ ∥^{2} = \sum ∣ x_{j} ∣^{2}$ , on conclut :
$\boxed{\sum_{i=1}^n |(MX)_i|^2 \leq \left( \sum_{j=1}^n |x_j|^2 \right) \left( \max_i \sum_j |m_{i,j}| \right) \left( \max_j \sum_i |m_{i,j}| \right)}$

Attention à ne pas confondre la norme euclidienne $\|A\|_2$ (rayon spectral de ${}^tAA$ ) avec la norme subordonnée à la norme infinie ou à la norme 1. L'exercice montre justement un lien subtil entre ces différentes normes.