Diagonalisabilité des matrices symétriques d'ordre 2

Soit $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ une matrice symétrique.

Démontrer que $A$ est diagonalisable dans l'espace des matrices réelles.

1.

On pourra commencer par exprimer $A$ de manière générale sous la forme $\begin{pmatrix} a & b b & c \end{pmatrix}$ avec $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ .

2.

Étudier le polynôme caractéristique de $A$ et calculer son discriminant.

3.

Discuter de la nature des racines de ce polynôme en fonction du signe du discriminant.

Idées clés

•

Expression du polynôme caractéristique pour une matrice de taille 2.

•

Analyse du discriminant d'un trinôme du second degré.

•

Condition suffisante de diagonalisabilité (racines simples).

•

Cas particulier des matrices scalaires.

Résolution.

Considérons une matrice $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ supposée symétrique.

Il existe donc trois réels $a$ , $b$ et $c$ tels que :

A = \begin{pmatrix} a & b b & c \end{pmatrix}

Calculons le polynôme caractéristique de $A$ , noté $\chi_A(X) = \det(XI_2 - A)$ .

Pour tout $X \in \mathbb{R}$ , nous avons : \begin{align*} \chi_A(X) &= \begin{vmatrix} X-a & -b
-b & X-c \end{vmatrix}
&= (X-a)(X-c) - (-b)^2
&= X^2 - (a+c)X + ac - b^2 \end{align*}

Ce polynôme est un trinôme du second degré. Étudions son discriminant $\Delta$ :

\Delta = (a+c)^2 - 4(ac - b^2)

Développons et simplifions cette expression : \begin{align*} \Delta &= a^2 + 2ac + c^2 - 4ac + 4b^2
&= a^2 - 2ac + c^2 + 4b^2
&= (a-c)^2 + 4b^2 \end{align*}

Comme $a, b, c$ sont des nombres réels, les termes $(a-c)^2$ et $4b^2$ sont des carrés de réels, donc positifs ou nuls.

On en déduit immédiatement :

\boxed{\Delta \geq 0}

Deux situations se présentent alors :

Premier cas : $\Delta > 0$ .

Le polynôme caractéristique $\chi_A$ possède deux racines réelles distinctes.

La matrice $A$ possède donc deux valeurs propres réelles distinctes en dimension 2.

D'après le cours, une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ possédant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.

\boxed{\text{Si } \Delta > 0, A \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{R}}

Deuxième cas : $\Delta = 0$ .

Puisque $\Delta$ est une somme de deux carrés de réels, $\Delta = 0$ implique nécessairement :

(a-c)^2 = 0   \text{et}   4b^2 = 0

Ce qui nous donne $a = c$ et $b = 0$ . La matrice $A$ s'écrit alors :

A = \begin{pmatrix} a & 0 0 & a \end{pmatrix} = a I_2

La matrice $A$ est une matrice diagonale (c'est une matrice scalaire). Elle est donc, par définition, diagonalisable.

\boxed{\text{Si } \Delta = 0, A \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{R}}

Dans tous les cas, une matrice symétrique réelle d'ordre 2 est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .

Une erreur classique est d'oublier de traiter le cas $\Delta = 0$ . On pourrait penser qu'une racine double empêche la diagonalisation (comme pour $\begin{pmatrix} 1 & 1 0 & 1 \end{pmatrix}$ ), mais ici la symétrie impose que si la racine est double, la matrice est déjà diagonale.