Diagonalisabilité de matrices symétriques complexes

On se propose d'étudier la réduction des matrices symétriques à coefficients complexes, en soulignant les différences avec le cas réel.

Montrer, à l'aide d'un contre-exemple en dimension 2, qu'une matrice symétrique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ n'est pas nécessairement diagonalisable.
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ $M \in M_{n} (C)$ une matrice symétrique. On note $A = \text{Re}(M)$ $A = Re (M)$ et $B = \text{Im}(M)$ $B = Im (M)$ les matrices réelles telles que $M = A + iB$ $M = A + i B$ .
1. Justifier que les matrices $A$ et $B$ sont elles-mêmes symétriques.
2. Démontrer que si $A$ et $B$ commutent, alors la matrice $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

1.

Pour la question 1, chercher une matrice dont le polynôme caractéristique possède une racine double, mais qui n'est pas l'identité.

2.

Pour la question 2.(a), utiliser la définition de la symétrie ( $M^T = M$ ) et l'unicité de la décomposition en parties réelle et imaginaire.

3.

Pour la question 2.(b), utiliser le théorème spectral pour les matrices réelles symétriques et le résultat sur la codiagonalisation de matrices qui commutent.

Idées clés

•

Contre-exemple via une matrice nilpotente ou à spectre réduit à un singleton.

•

Théorème spectral : toute matrice réelle symétrique est diagonalisable par une matrice orthogonale.

•

Codiagonalisation : deux matrices diagonalisables commutent si et seulement si elles sont simultanément diagonalisables.

Résolution.

Considérons la matrice symétrique complexe suivante : $M = \begin{pmatrix} 2 & i i & 0 \end{pmatrix}$
Calculons son polynôme caractéristique $\chi_M(X)$ :
$\chi_M(X) = \det(XI_2 - M) = (X-2)X - i^2 = X^2 - 2X + 1 = (X-1)^2$
L'unique valeur propre de $M$ est $1$ . Si $M$ était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice $I_2$ . Or, la seule matrice semblable à $I_2$ est $I_2$ elle-même. Comme $M \neq I_2$ , on en conclut que :
$\boxed{M \text{ n'est pas diagonalisable}}$
1. Par hypothèse, $M$ est symétrique, ce qui se traduit par $M^T = M$ . En utilisant la décomposition $M = A + iB$ où $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , nous avons : $(A + iB)^T = A + iB$
  Par linéarité de la transposition, cela donne $A^T + iB^T = A + iB$ . En identifiant les parties réelles et imaginaires (car $A, B, A^T, B^T$ sont toutes à coefficients réels), on obtient :
  $\boxed{A^T = A \text{et} B^T = B}$
  Ainsi, $A$ et $B$ sont des matrices réelles symétriques.
2. D'après le théorème spectral, les matrices réelles symétriques $A$ et $B$ sont diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , et donc a fortiori dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
  De plus, l'énoncé suppose que $A$ et $B$ commutent ( $AB = BA$ ). Un résultat classique du cours affirme que deux matrices diagonalisables qui commutent sont simultanément diagonalisables.
  Il existe donc une matrice $P \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ telle que :
  $P^{-1}AP = D_A \text{et} P^{-1}BP = D_B$ où $D_A$ et $D_B$ sont des matrices diagonales complexes.
  On peut alors écrire :
  $P^{-1}MP = P^{-1}(A + iB)P = P^{-1}AP + i P^{-1}BP = D_A + iD_B$
  La matrice $D_A + iD_B$ , étant la somme de deux matrices diagonales, est elle-même une matrice diagonale.
  $\boxed{M \text{ est donc diagonalisable}}$

L'erreur classique est de croire que le théorème spectral s'étend tel quel aux matrices complexes. C'est faux : la symétrie $M^T = M$ ne garantit pas la diagonalisabilité sur $\mathbb{C}$ . C'est la propriété d'être hermitienne ( $M^* = M$ ) qui garantit la diagonalisabilité pour une matrice complexe.