Propriétés spectrales des matrices antisymétriques

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère une matrice $A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})$ supposée antisymétrique, c'est-à-dire vérifiant la relation $A^T = -A$ .

On note $\chi_A(X) = \det(X I_n - A)$ le polynôme caractéristique de la matrice $A$ .

Étudier la parité du polynôme $\chi_A$ en fonction de la parité de la dimension $n$ .
En déduire que si l'entier $n$ est impair, alors la matrice $A$ n'est pas inversible.

1.

Utiliser la propriété du déterminant de la transposée : $\det(M) = \det(M^T)$ .

2.

Pour la parité, comparer $\chi_A(-X)$ et $\chi_A(X)$ en utilisant l'antisymétrie.

3.

Se rappeler que $\det(A) = (-1)^n \chi_A(0)$ ou évaluer directement la relation de parité en 0.

Idées clés

•

Propriété de la transposée : $\det(M^T) = \det(M)$ .

•

Linéarité du déterminant par rapport aux colonnes : $\det(\lambda M) = \lambda^n \det(M)$ .

•

Lien entre déterminant et valeur du polynôme caractéristique en 0.

Résolution.

Analysons la parité du polynôme caractéristique. Par définition :
$\chi_A(-X) = \det(-X I_n - A)$
En factorisant par $-1$ à l'intérieur du déterminant, nous obtenons :
$\chi_A(-X) = \det\left( -(X I_n + A) \right) = (-1)^n \det(X I_n + A)$
Exploitons maintenant l'antisymétrie de la matrice $A$ . Comme $A^T = -A$ , nous pouvons écrire :
$X I_n + A = X I_n - A^T = (X I_n - A)^T$
Puisque le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée, il vient :
$\det(X I_n + A) = \det\left( (X I_n - A)^T \right) = \det(X I_n - A) = \chi_A(X)$
En combinant ces deux résultats, nous établissons la relation fondamentale :
$\boxed{\chi_A(-X) = (-1)^n \chi_A(X)}$
On en déduit les conclusions suivantes sur la parité :
- Si $n$ est pair, alors $\chi_A(-X) = \chi_A(X)$ , donc $\chi_A$ est un polynôme pair.
- Si $n$ est impair, alors $\chi_A(-X) = -\chi_A(X)$ , donc $\chi_A$ est un polynôme impair.
Supposons que $n$ soit un entier impair.
D'après la question précédente, le polynôme $\chi_A$ est alors impair. Une propriété immédiate des polynômes (ou fonctions) impairs est qu'ils s'annulent en l'origine.
En effet, en évaluant la relation $\chi_A(-X) = -\chi_A(X)$ en $X = 0$ , on obtient :
$\chi_A(0) = -\chi_A(0) \implies 2\chi_A(0) = 0 \implies \chi_A(0) = 0$
Or, par définition du polynôme caractéristique, nous avons :
$\chi_A(0) = \det(0 \cdot I_n - A) = \det(-A)$
Comme $n$ est impair, $\det(-A) = (-1)^n \det(A) = -\det(A)$ . Nous en déduisons :
$-\det(A) = 0 \implies \boxed{\det(A) = 0}$
Puisque son déterminant est nul, la matrice $A$ n'est pas inversible.

Attention à ne pas oublier le facteur $(-1)^n$ lorsqu'on sort un signe moins du déterminant. C'est une erreur classique de penser que $\det(-A) = -\det(A)$ pour tout $n$ . Ce n'est vrai que si $n$ est impair.