Décomposition en produit de matrices symétriques

Étape 1 : Réduction du problème par similitude.

Supposons qu'il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et une matrice $B$ telle que $A = P B P^{-1}$. Si $B$ s'écrit $B = S_1 S_2$ avec $S_1, S_2$ symétriques, alors :

Posons $Q_1 = P S_1 P^T$ et $Q_2 = (P^T)^{-1} S_2 P^{-1}$. Vérifions la symétrie de $Q_1$ et $Q_2$ :

On a bien $A = Q_1 Q_2$ avec $Q_1, Q_2$ symétriques. Il suffit donc de prouver le résultat pour une matrice semblable à $A$.

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Étape 2 : Décomposition en blocs compagnons.

D'après le théorème de décomposition de Frobenius, $A$ est semblable à une matrice $C$ diagonale par blocs :

où chaque $C_i$ est une matrice compagnon.

Si chaque bloc $C_i$ est produit de deux matrices symétriques $S_{i,1}$ et $S_{i,2}$, alors en posant $S_1 = \text{diag}(S_{1,1}, \dots, S_{k,1})$ et $S_2 = \text{diag}(S_{1,2}, \dots, S_{k,2})$, on obtient une décomposition de $C$ en produit de deux matrices symétriques.

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Étape 3 : Cas d'une matrice compagnon.

Soit $C$ la matrice compagnon associée au polynôme $P = X^n - \sum_{i=0}^{n-1} a_i X^i$. On considère l'endomorphisme $u$ associé à $C$ dans la base canonique $(e_1, \dots, e_n)$. On cherche une matrice symétrique inversible $S$ telle que $SC$ soit symétrique.

La condition " $SC$ est symétrique " équivaut à dire que la forme bilinéaire $\phi$ de matrice $S$ dans la base canonique vérifie :

Soit $s_{i,j} = \phi(e_i, e_j)$. Pour $i, j \in \{1, \dots, n-1\}$, la condition $\phi(u(e_i), e_j) = \phi(e_i, u(e_j))$ donne :

Ceci montre que $s_{i,j}$ ne dépend que de la somme $i+j$. On pose $s_{i,j} = \sigma_{i+j}$. La matrice $S$ est donc une matrice de Hankel. Les valeurs de $\sigma_k$ sont déterminées par les relations avec la dernière colonne de $C$ :

Ce système de relations permet de construire par récurrence descendante une suite $(\sigma_k)$ telle que la matrice $S$ correspondante soit inversible. Par exemple, pour $n=2$, si $C = \begin{pmatrix} 0 & a_0$
1 & a_1 \end{pmatrix}, on peut choisir $S = \begin{pmatrix} 1 & 0$
0 & a_0 \end{pmatrix} si $a_0 \neq 0$. De façon générale, il existe toujours un tel $S$ inversible.

Comme $S$ est inversible et symétrique, $S^{-1}$ est aussi symétrique. On a alors :

où $S^{-1}$ et $SC$ sont symétriques par construction.

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Conclusion.

Toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est semblable à une matrice de blocs compagnons, chaque bloc est produit de deux matrices symétriques, donc $A$ l'est aussi.