Dualité et réduction pour les groupes abéliens

Résolution.

1. Cas où $n$ est premier. Soit $g \in G$ tel que $g \neq e$ (le neutre). D'après le théorème de Lagrange, l'ordre de $g$ divise $n$. Comme $n$ est premier et $g \neq e$, l'ordre de $g$ est nécessairement $n$. Le groupe $G$ est donc cyclique, engendré par $g$. Un morphisme $\chi \in \widehat{G}$ est entièrement déterminé par $\chi(g)$. Comme $g^n = e$, on a $\chi(g)^n = \chi(e) = 1$. Ainsi, $\chi(g)$ est une racine $n$-ième de l'unité. Réciproquement, pour chaque $\omega \in \mathbb{U}_n$, l'application $g^k \mapsto \omega^k$ définit un unique morphisme de $\widehat{G}$. On en conclut qu'il y a autant de caractères que de racines $n$-ièmes de l'unité :
   $$\boxed{|\widehat{G}| = n}$$

2. Étude du cas abélien général.
   1. L'ensemble $E = \mathbb{C}^G$ est l'espace des fonctions d'un ensemble fini de cardinal $n$ vers $\mathbb{C}$. Une base classique est donnée par les fonctions indicatrices $(\delta_g)_{g \in G}$ où $\delta_g(x) = 1$ si $x=g$ et $0$ sinon.
      $$\boxed{\dim(E) = n}$$

   2. Soient $a, b \in G$. Pour toute fonction $f \in E$ et tout $x \in G$ :
      $$(T_a \circ T_b)(f)(x) = T_a(f(\cdot + b))(x) = f(x+a+b)$$
      Comme $G$ est abélien, $x+a+b = x+b+a$, d'où $T_a \circ T_b = T_b \circ T_a$. Les opérateurs de translation commutent deux à deux. De plus, pour tout $a \in G$, l'ordre de $a$ divise $n$ (Lagrange), donc $na = 0$. On en déduit :
      $$T_a^n(f)(x) = f(x+na) = f(x) \implies T_a^n = \text{Id}_E$$
      L'endomorphisme $T_a$ est annulé par $X^n - 1$, qui est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$. Par conséquent, chaque $T_a$ est diagonalisable. Théorème : Une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est simultanément diagonalisable. Il existe donc une base de $E$ constituée de vecteurs propres communs à tous les $T_a$.

   3. Soit $f \in E, f \neq 0$. Supposons que $f$ est un vecteur propre commun : $\forall a \in G, T_a(f) = \lambda_a f$. On a $f(x+a) = \lambda_a f(x)$. En évaluant en $x=0$, on obtient $f(a) = \lambda_a f(0)$. Si $f(0) = 0$, alors $f(a) = 0$ pour tout $a$, donc $f=0$, ce qui est exclu. On peut donc normaliser $f$ en supposant $f(0)=1$. Alors $\lambda_a = f(a)$. La relation devient $f(x+a) = f(a)f(x)$. C'est exactement la définition d'un morphisme de $(G, +)$ dans $(\mathbb{C}, \cdot)$. Comme $f(0)=1$ et $f(x+a)=f(x)f(a)$, $f$ ne s'annule jamais, donc $f \in \widehat{G}$. Réciproquement, si $f \in \widehat{G}$, alors $T_a(f)(x) = f(x+a) = f(a)f(x)$, donc $f$ est vecteur propre de $T_a$ pour la valeur propre $f(a)$.

   4. D'après (b), il existe une base $(f_1, \dots, f_n)$ de vecteurs propres communs. D'après (c), chaque $f_i$ est proportionnel à un caractère. Soit $\chi_i = \frac{1}{f_i(0)} f_i$. Alors $\chi_1, \dots, \chi_n$ sont des éléments de $\widehat{G}$ distincts (car ils forment une base de $E$). Ainsi $|\widehat{G}| \geq n$. Par ailleurs, le lemme de Dedekind stipule que toute famille de caractères distincts est libre dans $\mathcal{F}(G, \mathbb{C})$. Comme la dimension de $E$ est $n$, toute famille libre a un cardinal au plus $n$. On en déduit :
      $$\boxed{|\widehat{G}| = n}$$

3. Contre-exemple non abélien. Considérons $G = \mathfrak{S}_n$ pour $n \geq 3$. Le cardinal de $G$ est $n!$. Soit $\varphi \in \widehat{\mathfrak{S}_n}$. Les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$. Si $\tau$ est une transposition, $\tau^2 = \text{id} \implies \varphi(\tau)^2 = 1$, donc $\varphi(\tau) \in \{1, -1\}$. De plus, toutes les transpositions sont conjuguées. Si $\tau' = \sigma \tau \sigma^{-1}$, alors :
   $$\varphi(\tau') = \varphi(\sigma)\varphi(\tau)\varphi(\sigma)^{-1} = \varphi(\tau)$$
   Toutes les transpositions ont la même image par $\varphi$. Si cette image est $1$, $\varphi$ est le morphisme trivial. Si c'est $-1$, $\varphi$ est la signature $\varepsilon$. Il n'existe que deux caractères pour $\mathfrak{S}_n$ : $\widehat{\mathfrak{S}_n} = \{1, \varepsilon\}$.
   $$|\widehat{\mathfrak{S}_n}| = 2 \neq n!   \text{pour } n \geq 3$$