Dimension d'endomorphismes commutant avec la transposition

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'espace vectoriel $E = \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .

On s'intéresse au sous-ensemble $\mathcal{V}$ de $\mathcal{L}(E)$ constitué des endomorphismes $u$ qui satisfont la condition de symétrie suivante :

\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),   u\left(M^{T}\right) = \left(u(M)\right)^{T}

Montrer que $\mathcal{V}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ .
Caractériser les éléments de $\mathcal{V}$ en fonction de leur action sur les sous-espaces de matrices symétriques $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et antisymétriques $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ .
En déduire la dimension de $\mathcal{V}$ en fonction de $n$ .

1.

Utiliser la décomposition en somme directe $E = \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_{n}(\mathbb{R})$ .

2.

Traduire la condition $u(M^T) = u(M)^T$ pour une matrice symétrique, puis pour une matrice antisymétrique.

3.

Un endomorphismes qui stabilise deux sous-espaces supplémentaires peut être vu comme un couple d'endomorphismes agissant indépendamment sur chaque sous-espace.

Idées clés

•

Décomposition de l'espace par l'involution de transposition.

•

Stabilité des sous-espaces propres (symétriques et antisymétriques).

•

Calcul de dimension par blocs ou par somme de dimensions d'algèbres d'endomorphismes.

Résolution.

La linéarité de la transposition assure que $\mathcal{V}$ est le noyau de l'application linéaire $\Psi : u \mapsto (M \mapsto u(M^T) - u(M)^T)$ . C'est donc bien un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ .
Rappelons que $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ . Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ . Supposons que $u \in \mathcal{V}$ . Si $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ , alors $S^T = S$ . La condition donne : $u(S) = u(S^T) = u(S)^T$ Ainsi, $u(S)$ est une matrice symétrique. L'espace $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ est donc stable par $u$ . Si $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ , alors $A^T = -A$ . La condition donne : $u(-A) = u(A^T) = u(A)^T$ Par linéarité de $u$ , $-u(A) = u(A)^T$ , ce qui signifie que $u(A)$ est antisymétrique. L'espace $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ est donc stable par $u$ . Réciproquement, si $u$ stabilise $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ , soit $M \in E$ . On écrit $M = S + A$ avec $S = \frac{M+M^T}{2}$ et $A = \frac{M-M^T}{2}$ . On a alors $M^T = S - A$ . Par linéarité : $u(M^T) = u(S) - u(A)$ Comme $u(S) \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $u(A) \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ , on a : $u(M)^T = (u(S) + u(A))^T = u(S)^T + u(A)^T = u(S) - u(A)$ Les deux expressions coïncident. $\boxed{ u \in \mathcal{V} \iff u(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})) \subset \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \text{ et } u(\mathcal{A}_n(\mathbb{R})) \subset \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) }$
Puisque $E = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ et que les deux sous-espaces sont stables, un tel endomorphisme $u$ est entièrement et librement déterminé par ses restrictions : $u_1 = u_{|\mathcal{S}_n(\mathbb{R})} \in \mathcal{L}(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})) \text{et} u_2 = u_{|\mathcal{A}_n(\mathbb{R})} \in \mathcal{L}(\mathcal{A}_n(\mathbb{R}))$ L'application $u \mapsto (u_1, u_2)$ définit un isomorphisme d'espaces vectoriels entre $\mathcal{V}$ et le produit $\mathcal{L}(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})) \times \mathcal{L}(\mathcal{A}_n(\mathbb{R}))$ . On en déduit : $\dim \mathcal{V} = \left(\dim \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\right)^2 + \left(\dim \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\right)^2$ On utilise les dimensions classiques : $\dim \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) = \frac{n(n+1)}{2}$ et $\dim \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) = \frac{n(n-1)}{2}$ . \begin{align*} \dim \mathcal{V} &= \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2
&= \frac{n^2}{4} \left( (n+1)^2 + (n-1)^2 \right)
&= \frac{n^2}{4} \left( n^2 + 2n + 1 + n^2 - 2n + 1 \right)
&= \frac{n^2}{4} (2n^2 + 2) \end{align*} Finalement : $\boxed{ \dim \mathcal{V} = \frac{n^2(n^2+1)}{2} }$

Attention à ne pas oublier que $u$ est un endomorphisme de l'espace des matrices tout entier. Sa dimension n'est pas $n^2$ , mais $(n^2)^2 = n^4$ au total. La dimension cherchée ici est un sous-ensemble de ces $n^4$ degrés de liberté.