Diagonalisabilité et exponentielle de matrice

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

Montrer que la matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si sa matrice exponentielle $\exp(A)$ est diagonalisable.

1.

Pour le sens direct, utiliser la caractérisation de la diagonalisabilité par la similitude à une matrice diagonale.

2.

Pour le sens réciproque, introduire la décomposition de Dunford de $A = D + N$ , où $D$ est diagonalisable, $N$ est nilpotente et $DN = ND$ .

3.

Justifier que $\exp(A)$ et $\exp(-D)$ sont co-diagonalisables pour en déduire que $\exp(N)$ est diagonalisable.

4.

Étudier les valeurs propres de $\exp(N)$ et utiliser le fait qu'une matrice diagonalisable n'ayant qu'une seule valeur propre $\lambda$ est égale à $\lambda I_n$ .

Idées clés

•

Utilisation de la décomposition de Dunford $A = D + N$ .

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Propriété : l'exponentielle d'une somme de matrices qui commutent est le produit des exponentielles.

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Une matrice diagonalisable à spectre ponctuel est une homothétie.

Résolution.

Sens direct : supposons $A$ diagonalisable. Il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et $D = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ tels que $A = PDP^{-1}$ . Par définition de l'exponentielle de matrice, on a : $\exp(A) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{P D^k P^{-1}}{k!} = P \left( \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{D^k}{k!} \right) P^{-1}$ Ce qui se simplifie en : $\exp(A) = P \exp(D) P^{-1}$ Comme $D$ est diagonale, $\exp(D) = \text{diag}(e^{\lambda_1}, \dots, e^{\lambda_n})$ est également diagonale. $\boxed{\exp(A) \text{ est donc diagonalisable.}}$
Sens réciproque : supposons $\exp(A)$ diagonalisable. Considérons la décomposition de Dunford de $A$ . Comme $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , son polynôme caractéristique est scindé. Il existe un unique couple $(D, N) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})^2$ tel que : $A = D + N, D \text{ est diagonalisable, } N \text{ est nilpotente, et } DN = ND$ Puisque $D$ et $N$ commutent, on a $\exp(A) = \exp(D+N) = \exp(D)\exp(N)$ . De plus, comme $D$ et $N$ sont des polynômes en $A$ , ils commutent avec $A$ . Il en résulte que $\exp(A)$ , $\exp(D)$ et $\exp(N)$ commutent entre elles. On peut alors écrire : $\exp(N) = \exp(A) \exp(-D)$ D'après le sens direct, $\exp(-D)$ est diagonalisable (car $-D$ l'est). $\exp(A)$ et $\exp(-D)$ sont deux matrices diagonalisables qui commutent. Elles sont donc co-diagonalisables. Leur produit $\exp(N)$ est par conséquent diagonalisable. Déterminons maintenant le spectre de $\exp(N)$ . Comme $N$ est nilpotente, sa seule valeur propre est $0$ . Par le théorème de trigonalisation, $N$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est nulle. Alors $\exp(N)$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont $e^0 = 1$ . L'unique valeur propre de $\exp(N)$ est donc $1$ . Comme $\exp(N)$ est diagonalisable et que $Sp(\exp(N)) = \{1\}$ , on en déduit : $\boxed{\exp(N) = I_n}$ Utilisons enfin la nilpotence de $N$ . Soit $p$ l'indice de nilpotence de $N$ . Si $p \geq 2$ , on a : $I_n = \exp(N) = I_n + N + \frac{N^2}{2!} + \dots + \frac{N^{p-1}}{(p-1)!}$ Ce qui implique : $N \left( I_n + \frac{N}{2!} + \dots + \frac{N^{p-2}}{(p-1)!} \right) = 0$ La matrice $M = I_n + \frac{N}{2!} + \dots + \frac{N^{p-2}}{(p-1)!}$ est de la forme $I_n + U$ avec $U$ nilpotente (car $U$ est un polynôme en $N$ sans terme constant). Une telle matrice est inversible. En multipliant par $M^{-1}$ , on obtient : $\boxed{N = 0}$ Ainsi $A = D$ , ce qui prouve que $A$ est diagonalisable.

L'implication réciproque est fausse si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Par exemple, pour $A = \begin{pmatrix} 0 & -2\pi 2\pi & 0 \end{pmatrix}$ , on a $\exp(A) = I_2$ , qui est diagonalisable, alors que $A$ n'est pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ (ses valeurs propres sont $\pm 2i\pi$ ).