Morphismes rationnels vers GL_n(C)

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On considère un entier $n \geq 1$ . L'objectif est de déterminer l'ensemble des morphismes de groupes $f : (\mathbb{R}^*, \times) \to (GL_n(\mathbb{C}), \times)$ tels que, pour tout $(i,j) \in \{1, \dots, n\}^2$ , la composante $f_{i,j}$ est une fraction rationnelle sur $\mathbb{R}$ .

1.

Commencer par étudier la restriction du morphisme à $\mathbb{R}_+^*$ .

2.

Utiliser le changement de variable $t = e^x$ pour transformer le problème en une équation différentielle portant sur $g(x) = f(e^x)$ .

3.

Exprimer $g(x)$ à l'aide de l'exponentielle matricielle et analyser la nature des coefficients.

4.

Étudier les valeurs propres de la matrice $A = f'(1)$ ainsi que sa diagonalisabilité en observant la croissance des coefficients.

5.

Conclure sur $\mathbb{R}^*$ en utilisant la rigidité des fractions rationnelles.

Idées clés

•

Lien entre morphismes de groupes continus et exponentielle matricielle.

•

Analyse des fonctions de type $x \mapsto e^{\lambda x}$ et $x \mapsto x^k e^{\lambda x}$ au regard des fractions rationnelles en $e^x$ .

•

Prolongement par densité ou prolongement analytique pour les fractions rationnelles.

1. Étude sur le sous-groupe des réels strictement positifs.

Soit $f$ un tel morphisme. On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $g(x) = f(e^x)$ .

Puisque $f$ est un morphisme de $(\mathbb{R}_+^*, \times)$ vers $(GL_n(\mathbb{C}), \times)$ , l'application $g$ est un morphisme de $(\mathbb{R}, +)$ vers $(GL_n(\mathbb{C}), \times)$ .

On a donc, pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ :

g(x+y) = g(x)g(y)   \text{et}   g(0) = I_n

Comme les coefficients de $f$ sont des fractions rationnelles sans pôle sur $\mathbb{R}_+^*$ , ils sont de classe $C^\infty$ . Par composition, $g$ est également de classe $C^\infty$ .

En dérivant la relation $g(x+y) = g(x)g(y)$ par rapport à $x$ , on obtient $g'(x+y) = g'(x)g(y)$ . En évaluant en $x=0$ , on trouve $g'(y) = Ag(y)$ où $A = g'(0) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

L'unique solution de ce problème de Cauchy est donnée par l'exponentielle matricielle :

\boxed{ \forall x \in \mathbb{R},   g(x) = e^{xA} }

Ainsi, pour tout $t \in \mathbb{R}_+^*$ , on a $f(t) = e^{A \ln(t)}$ .

2. Analyse de la matrice $A$ .

Les coefficients de $e^{xA}$ doivent être des fractions rationnelles en la variable $t = e^x$ .

i) Valeurs propres de $A$ : Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $A$ et $v \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}$ un vecteur propre associé. On a :

g(x)v = e^{xA}v = e^{\lambda x}v

Les coordonnées de ce vecteur sont de la forme $v_i e^{\lambda x}$ . Pour un $i$ tel que $v_i \neq 0$ , la fonction $x \mapsto e^{\lambda x}$ doit être une fraction rationnelle en $e^x$ .

Il existe donc $R \in \mathbb{C}(X)$ tel que $e^{\lambda x} = R(e^x)$ , soit $t^\lambda = R(t)$ pour tout $t > 0$ . En dérivant, $\lambda t^{\lambda - 1} = R'(t)$ , d'où $\lambda \frac{R(t)}{t} = R'(t)$ , ce qui donne $\frac{R'(t)}{R(t)} = \frac{\lambda}{t}$ .

En décomposant $R'/R$ en éléments simples, on sait que les pôles sont de résidus entiers (correspondant aux multiplicités des racines). On en déduit :

\boxed{ \lambda \in \mathbb{Z} }

ii) Diagonalisabilité de $A$ : Supposons que $A$ ne soit pas diagonalisable. Alors il existe une valeur propre $\lambda$ telle que $\ker(A-\lambda I) \subsetneq \ker(A-\lambda I)^2$ .

Soit $w \in \ker(A-\lambda I)^2 \setminus \ker(A-\lambda I)$ . On pose $v = (A-\lambda I)w \neq 0$ . On a $Av = \lambda v$ . Le calcul de l'exponentielle donne :

e^{xA}w = e^{\lambda x} e^{x(A-\lambda I)}w = e^{\lambda x} (w + x(A-\lambda I)w) = e^{\lambda x}w + x e^{\lambda x}v

Les coefficients de $g(x)$ contiendraient alors des termes de la forme $e^{\lambda x}(w_i + x v_i)$ . En posant $t = e^x$ , cela donne $t^\lambda(w_i + v_i \ln t)$ .

Or, une fonction de la forme $t \mapsto t^k \ln t$ (avec $v_i \neq 0$ ) n'est jamais une fraction rationnelle (son comportement en $+\infty$ ou sa dérivée seconde l'interdisent).

Par conséquent, $A$ est diagonalisable. Comme ses valeurs propres sont entières, il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que :

A = P \text{diag}(n_1, \dots, n_n) P^{-1}   \text{avec}   (n_1, \dots, n_n) \in \mathbb{Z}^n

On en déduit que pour $t > 0$ :

\boxed{ f(t) = P \text{diag}(t^{n_1}, \dots, t^{n_n}) P^{-1} }

3. Extension à $\mathbb{R$ ^* $R^{*}$ .}

Considérons l'application $h : t \mapsto f(t) \cdot \left( P \text{diag}(t^{n_1}, \dots, t^{n_n}) P^{-1} \right)^{-1}$ . Puisque $t \mapsto t^k$ est une fraction rationnelle pour tout $k \in \mathbb{Z}$ , $h$ est une fraction rationnelle sur $\mathbb{R}^*$ .

D'après l'étude précédente, $h(t) = I_n$ pour tout $t \in ]0, +\infty[$ . Une fraction rationnelle constante sur un intervalle est constante sur tout son domaine de définition par le principe d'identité.

Ainsi, $h(t) = I_n$ pour tout $t \in \mathbb{R}^*$ .

Conclusion : Les morphismes cherchés sont exactement les applications de la forme :

\boxed{ t \mapsto P \text{diag}(t^{n_1}, \dots, t^{n_n}) P^{-1} }

où

P \in GL_n(\mathbb{C})

et

(n_1, \dots, n_n) \in \mathbb{Z}^n

.

L'erreur classique consiste à oublier de justifier la diagonalisabilité de $A$ . L'existence de valeurs propres entières ne suffit pas à garantir que $e^{xA}$ a des coefficients rationnels en $e^x$ ; il faut aussi s'assurer de l'absence de blocs de Jordan (ou de termes en $x^k$ dans le développement).