Suites polynomiales et récurrences linéaires

On s'intéresse aux relations de récurrence satisfaites par certaines suites usuelles.

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme de degré $d \in \mathbb{N}$ . Déterminer une relation de récurrence linéaire à coefficients constants vérifiée par la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = P(n)$ .
On considère les suites $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $v_n = n^2 2^n \text{et} w_n = n^2 + 2^n$ Donner, pour chacune de ces suites, une relation de récurrence linéaire à coefficients constants qu'elle satisfait.

1.

Utiliser l'opérateur de décalage $S$ défini sur l'espace des suites par $(Su)_n = u_{n+1}$ et l'opérateur de différence finie $\Delta = S - \text{Id}$ .

2.

Étudier l'effet de l'opérateur $\Delta$ sur le degré d'un polynôme.

3.

Pour la question 2, utiliser le lien entre les racines du polynôme caractéristique d'une récurrence et la forme générale des solutions $n^k \lambda^n$ .

4.

Pour une somme de deux suites satisfaisant des récurrences d'ordres respectifs $p$ et $q$ , considérer le produit des polynômes caractéristiques associés.

Idées clés

•

Utilisation de l'opérateur de décalage $S$ et de l'algèbre $\mathbb{C}[S]$ .

•

Propriété de l'opérateur $\Delta = S - \text{Id}$ sur l'espace des suites polynomiales.

•

Théorème de structure des suites récurrentes linéaires : le noyau de $(S-\lambda I)^k$ est l'espace des suites de la forme $(Q(n)\lambda^n)$ avec $\deg Q < k$ .

Résolution.

Soit $E = \mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ l'espace des suites complexes. On définit l'opérateur de décalage $S \in \mathcal{L}(E)$ par $(Su)_n = u_{n+1}$ et l'identité $I$ . Posons $\Delta = S - I$ , tel que $(\Delta u)_n = u_{n+1} - u_n$ . Soit $u$ la suite définie par $u_n = P(n)$ avec $\deg P = d$ . Si $d=0$ , alors $P$ est constant, $u_{n+1} - u_n = 0$ , donc $\Delta u = 0$ . Si $d \geq 1$ , on calcule $(\Delta u)_n = P(n+1) - P(n)$ . Soit $P = a_d X^d + \dots + a_0$ avec $a_d \neq 0$ . Par la formule du binôme : $P(n+1) - P(n) = a_d \left( \sum_{k=0}^d \binom{d}{k} n^k - n^d \right) + \text{termes de degré } < d-1$ $P(n+1) - P(n) = d a_d n^{d-1} + \dots$ Ainsi, l'application $\Delta$ transforme une suite polynomiale de degré $d$ en une suite polynomiale de degré $d-1$ . Par une récurrence immédiate, l'opérateur $\Delta^{d+1}$ annule toute suite polynomiale de degré inférieur ou égal à $d$ . La relation de récurrence est donc donnée par $((S-I)^{d+1} u)_n = 0$ , soit : $\boxed{ \sum_{k=0}^{d+1} \binom{d+1}{k} (-1)^{d+1-k} u_{n+k} = 0 }$
1. Étudions la suite $v_n = n^2 2^n$ . Cette suite est de la forme $Q(n) \lambda^n$ avec $\lambda = 2$ et $Q$ un polynôme de degré 2. D'après le cours sur les suites récurrentes linéaires, une telle suite est annulée par l'opérateur $(S - 2I)^3$ , car le degré du polynôme $Q$ est $2 < 3$ . Le polynôme caractéristique associé est $P(X) = (X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ . La relation de récurrence satisfaite par $v$ est donc : $\boxed{ v_{n+3} - 6v_{n+2} + 12v_{n+1} - 8v_n = 0 }$
2. Étudions la suite $w_n = n^2 + 2^n$ . On peut décomposer $w_n = x_n + y_n$ où $x_n = n^2$ et $y_n = 2^n$ . D'après la question 1, la suite $(x_n)$ est annulée par l'opérateur $(S-I)^3$ (degré 2). La suite $(y_n)$ est une suite géométrique de raison 2, elle est annulée par $(S-2I)$ . L'opérateur $L = (S-I)^3 \circ (S-2I)$ annule donc la somme $x+y$ puisque les opérateurs commutent : $L(x+y) = (S-2I) \circ \underbrace{(S-I)^3(x)}_{=0} + (S-I)^3 \circ \underbrace{(S-2I)(y)}_{=0} = 0$ Le polynôme caractéristique est $P(X) = (X-1)^3(X-2)$ . Développons-le : $(X^3 - 3X^2 + 3X - 1)(X - 2) = X^4 - 2X^3 - 3X^3 + 6X^2 + 3X^2 - 6X - X + 2$ $P(X) = X^4 - 5X^3 + 9X^2 - 7X + 2$ La relation de récurrence cherchée est : $\boxed{ w_{n+4} - 5w_{n+3} + 9w_{n+2} - 7w_{n+1} + 2w_n = 0 }$

Pour la suite $w_n = n^2 + 2^n$ , une erreur classique consiste à additionner les relations de récurrence ou les ordres. Il faut bien multiplier les polynômes annulateurs (ce qui correspond à la somme des ordres des récurrences) pour obtenir un opérateur qui annule la somme des deux suites.