Convergence d'un système de suites linéaires

On considère trois suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ , $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies par la donnée de leurs premiers termes $u_0, v_0, w_0$ et par les relations de récurrence suivantes, valables pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

\begin{cases} u_{n+1} = -u_n + v_n + w_n v_{n+1} = u_n - v_n + w_n w_{n+1} = u_n + v_n - w_n \end{cases}

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le triplet initial $(u_0, v_0, w_0)$ pour que ces trois suites convergent simultanément vers une limite finie.

1.

Traduire le système de relations sous forme matricielle $X_{n+1} = A X_n$ avec $X_n = \begin{pmatrix} u_n v_n w_n \end{pmatrix}$ .

2.

Exprimer $X_n$ en fonction de $A^n$ et de $X_0$ .

3.

Calculer les valeurs propres de $A$ . On pourra remarquer que $A = J - 2I$ où $J$ est une matrice dont tous les coefficients valent 1.

4.

Utiliser la diagonalisabilité de $A$ pour décomposer $X_0$ dans une base de vecteurs propres et étudier la convergence de $A^n X_0$ .

Idées clés

•

Modélisation matricielle d'un système dynamique linéaire discret.

•

Réduction d'une matrice symétrique (diagonalisabilité).

•

Étude de la convergence de la suite $(A^n X_0)$ selon le spectre de $A$ .

1. Modélisation matricielle.

On pose, pour tout entier naturel $n$ , le vecteur colonne suivant :

X_n = \begin{pmatrix} u_n v_n w_n \end{pmatrix}

Le système de relations s'écrit alors sous la forme $X_{n+1} = A X_n$ avec :

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

Par une récurrence immédiate, on établit que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

\boxed{X_n = A^n X_0}

2. Réduction de la matrice $A$ .

La matrice $A$ est symétrique réelle, elle est donc diagonalisable dans une base orthonormée d'après le théorème spectral (ou simplement diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ).

Pour déterminer ses valeurs propres, on remarque que :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = J - 2I_3

La matrice $J$ est de rang 1, donc $0$ est valeur propre de $J$ associée à un sous-espace de dimension $3 - 1 = 2$ . De plus, la trace de $J$ est égale à 3, ce qui correspond à la somme des valeurs propres. La troisième valeur propre de $J$ est donc 3.

On en déduit le spectre de $A$ en translatant celui de $J$ par $-2$ :

Sp(A) = \{0-2, 3-2\} = \{-2, 1\}

L'espace propre $E_1(A)$ associé à la valeur propre $1$ est donné par le système $AX = X$ , soit $(A-I_3)X = 0$ :

\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix} \iff x=y=z

Ainsi, $E_1(A) = \text{Vect}((1,1,1))$ .

L'espace propre $E_{-2}(A)$ est le plan d'équation $x+y+z=0$ (puisque $A$ est symétrique, les espaces propres sont orthogonaux).

3. Analyse de la convergence.

Puisque $A$ est diagonalisable, on peut décomposer $X_0$ de manière unique sous la forme :

X_0 = X_1 + X_{-2}   \text{avec } X_1 \in E_1(A) \text{ et } X_{-2} \in E_{-2}(A)

D'après la relation $X_n = A^n X_0$ , on obtient par linéarité :

X_n = A^n X_1 + A^n X_{-2} = 1^n X_1 + (-2)^n X_{-2}

Soit :

\boxed{X_n = X_1 + (-2)^n X_{-2}}

La suite $(X_n)$ converge si et seulement si la suite vectorielle $((-2)^n X_{-2})$ converge vers une limite finie.

Or, la suite réelle $((-2)^n)$ diverge (elle n'est pas bornée et ses termes alternent en signe). Par conséquent, la suite $((-2)^n X_{-2})$ converge si et seulement si le vecteur $X_{-2}$ est nul.

4. Conclusion.

La condition nécessaire et suffisante est donc que $X_0 \in E_1(A)$ . D'après l'étude de $E_1(A)$ effectuée précédemment, cela équivaut à :

\boxed{u_0 = v_0 = w_0}

Il ne suffit pas que les valeurs propres soient inférieures ou égales à 1 en valeur absolue. Ici, $-2$ est une valeur propre, et $(-2)^n$ diverge grossièrement. Il faut absolument que la composante du vecteur initial sur le sous-espace associé soit nulle.