Convergence d'une suite de barycentres

Soit $p$ un entier naturel tel que $p \geq 2$ . On considère une suite de points $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de l'espace $\mathbb{R}^p$ . On note $X_n = (x_{1,n}, \dots, x_{p,n})$ les coordonnées du point au rang $n$ .

La suite est définie par un point initial $X_0 \in \mathbb{R}^p$ et par la relation de récurrence suivante :

\forall n \in \mathbb{N}^*,   \forall i \in \llbracket 1, p \rrbracket,   x_{i,n} = \frac{1}{p-1} \sum_{j \neq i} x_{j,n-1}

Étudier la convergence de la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et déterminer, le cas échéant, sa limite en fonction de $X_0$ .

1.

Traduire la relation de récurrence sous forme matricielle $X_n = M X_{n-1}$ .

2.

Exprimer $M$ en fonction de la matrice $J$ dont tous les coefficients valent 1.

3.

Déterminer les éléments propres de $M$ (diagonalisabilité, spectre).

4.

Étudier le comportement de $M^n$ en distinguant le cas $p=2$ du cas $p > 2$ .

5.

Utiliser l'invariant de la suite (somme des coordonnées) pour identifier la limite.

Idées clés

•

Modélisation matricielle d'un système récurrent linéaire.

•

Réduction d'une matrice de structure simple ( $J - I$ ).

•

Étude de la convergence des puissances d'une matrice par son spectre.

1. Modélisation matricielle.

Posons le vecteur colonne $X_n = \begin{pmatrix} x_{1,n} & \dots & x_{p,n} \end{pmatrix}^T$ .

La relation de récurrence s'écrit $X_n = M X_{n-1}$ pour tout $n \geq 1$ , où $M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ est définie par :

M = \frac{1}{p-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 & \dots & 1 1 & 0 & \ddots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & 1 1 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix}

On remarque que $M$ peut s'écrire en fonction de la matrice $J \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ ne contenant que des 1 :

\boxed{ M = \frac{1}{p-1} (J - I_p) }

Par une récurrence immédiate, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $X_n = M^n X_0$ .

2. Réduction de la matrice $M$ .

La matrice $J$ est de rang 1 (toutes ses colonnes sont égales au vecteur $U = (1, \dots, 1)^T$ ).

Ainsi, $0$ est valeur propre de $J$ de multiplicité géométrique $p - \text{rg}(J) = p-1$ .

Le sous-espace propre associé est l'hyperplane $H = \{ X \in \mathbb{R}^p \mid \sum_{i=1}^p x_i = 0 \}$ .

De plus, $J U = p U$ , donc $p$ est la seconde valeur propre de $J$ (de multiplicité 1 car la somme des multiplicités atteint $p$ ).

Puisque $M$ est une fonction polynomiale de $J$ , les valeurs propres de $M$ sont les $f(\lambda)$ où $f(x) = \frac{1}{p-1}(x-1)$ et $\lambda \in \text{Sp}(J)$ .

\text{Sp}(M) = \left\{ \frac{p-1}{p-1}, \frac{0-1}{p-1} \right\} = \left\{ 1, -\frac{1}{p-1} \right\}

$M$ est symétrique réelle, donc elle est diagonalisable.

3. Étude de la convergence.

Soit $X_0 = X_0^{(1)} + X_0^{(2)}$ la décomposition de $X_0$ sur la somme directe $\mathbb{R}^p = E_1(M) \oplus E_{-1/(p-1)}(M)$ .

On a alors $M^n X_0 = 1^n X_0^{(1)} + \left(-\frac{1}{p-1}\right)^n X_0^{(2)}$ .

Cas 1 : $p > 2$ .

Dans ce cas, $\left| -\frac{1}{p-1} \right| < 1$ . Alors $\left(-\frac{1}{p-1}\right)^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ .

La suite $(X_n)$ converge donc vers $X_0^{(1)}$ , qui est la projection de $X_0$ sur $E_1(M) = \text{Vect}(U)$ parallèlement à $H = E_{-1/(p-1)}(M)$ .

Pour déterminer $X_0^{(1)}$ , utilisons l'invariant de la suite. On remarque que la somme des coordonnées $S_n = \sum_{i=1}^p x_{i,n}$ est constante. En effet :

S_n = \sum_{i=1}^p \left( \frac{1}{p-1} \sum_{j \neq i} x_{j,n-1} \right) = \frac{1}{p-1} \sum_{j=1}^p \left( \sum_{i \neq j} 1 \right) x_{j,n-1} = \sum_{j=1}^p x_{j,n-1} = S_{n-1}

Si $X_n \to L = (\ell, \dots, \ell)$ , alors par continuité de la somme, $p\ell = S_0$ .

\boxed{ L = \left( \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p x_{i,0} \right) \begin{pmatrix} 1 \vdots 1 \end{pmatrix} }

Cas 2 : $p = 2$ .

Si $p=2$ , les valeurs propres sont $1$ et $-1$ . La matrice est $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

On a $X_n = M^n X_0$ . La suite $(X_n)$ converge si et seulement si $X_0$ est un vecteur propre associé à la valeur propre 1.

\boxed{ \text{Si } p=2, \text{ la suite converge ssi } x_{1,0} = x_{2,0}. }

Sinon, la suite diverge par oscillation (elle échange les coordonnées de

X_0

à chaque étape).

L'erreur classique est d'affirmer la convergence pour tout $p$ sans vérifier la condition sur le rayon spectral. Pour $p=2$ , la valeur propre $-1$ empêche la convergence générale.