Caractère triangulaire de la racine carrée

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .

On suppose que la matrice $M^{2}$ est triangulaire supérieure et que ses coefficients diagonaux sont les entiers $1, 2, \ldots, n$ .

Démontrer que la matrice $M$ est également triangulaire supérieure.

1.

Rappeler la caractérisation d'une matrice triangulaire supérieure en termes de sous-espaces stables pour la base canonique $(e_1, \dots, e_n)$ .

2.

Étudier les valeurs propres de $M^2$ et la dimension de ses sous-espaces propres.

3.

Utiliser le fait que $M$ et $M^2$ commutent pour montrer que $M$ stabilise les sous-espaces propres de $M^2$ .

4.

Faire le lien entre les sous-espaces propres de $M^2$ et les espaces $V_k = \text{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ .

Idées clés

•

Stabilité du drapeau canonique : $M$ est triangulaire supérieure si et seulement si pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , le sous-espace $V_k = \text{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ est stable par $M$ .

•

Commutation et stabilité : si deux endomorphismes commutent, l'un stabilise les sous-espaces propres de l'autre.

•

Propriétés des matrices à valeurs propres distinctes.

Résolution.

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$ . Pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , on note :

V_k = \text{Vect}(e_1, \dots, e_k)

Par hypothèse, $M^2$ est triangulaire supérieure. Cela signifie exactement que :

\forall k \in \{1, \dots, n\},   M^2(V_k) \subset V_k

De plus, les coefficients diagonaux de $M^2$ sont $1, 2, \dots, n$ . Ce sont les valeurs propres de $M^2$ . Comme elles sont toutes distinctes, on en déduit que :

$M^2$ est diagonalisable.
Chaque sous-espace propre de $M^2$ est une droite vectorielle.

Notons $E_i(M^2) = \ker(M^2 - i I)$ le sous-espace propre de $M^2$ associé à la valeur propre $i$ , pour $i \in \{1, \dots, n\}$ . On a alors :

\dim E_i(M^2) = 1

Puisque $M$ commute avec $M^2$ (en effet $M \cdot M^2 = M^3 = M^2 \cdot M$ ), $M$ stabilise chaque sous-espace propre de $M^2$ . Comme chaque $E_i(M^2)$ est de dimension 1, il existe des réels $\mu_i$ tels que :

\forall i \in \{1, \dots, n\},   \forall x \in E_i(M^2),   M x = \mu_i x

Ceci prouve que $M$ est diagonalisable dans la même base de vecteurs propres que $M^2$ .

Lien avec le drapeau canonique.

Considérons la restriction de l'endomorphisme associé à $M^2$ au sous-espace stable $V_k$ . Notons $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ associé à $M^2$ . Puisque $u(V_k) \subset V_k$ , on peut considérer l'endomorphisme induit $u_k = u_{|V_k}$ .

La matrice de $u_k$ dans la base $(e_1, \dots, e_k)$ est la sous-matrice principale d'ordre $k$ de $M^2$ . Ses valeurs propres sont les coefficients diagonaux correspondants, soit $\{1, 2, \dots, k\}$ .

Comme ces $k$ valeurs propres sont distinctes et que $\dim V_k = k$ , $u_k$ est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont de dimension 1. Or, si $x \in V_k$ est un vecteur propre de $u_k$ pour la valeur propre $i$ , alors $x$ est aussi un vecteur propre de $u$ pour la même valeur propre.

Ainsi, on a l'égalité :

\boxed{ V_k = \bigoplus_{i=1}^k E_i(M^2) }

Conclusion.

Nous avons montré précédemment que pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , $M(E_i(M^2)) \subset E_i(M^2)$ . Par sommation, il vient :

M(V_k) = M\left( \bigoplus_{i=1}^k E_i(M^2) \right) \subset \bigoplus_{i=1}^k M(E_i(M^2)) \subset \bigoplus_{i=1}^k E_i(M^2) = V_k

Ainsi, pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , le sous-espace $V_k$ est stable par $M$ . On en conclut que :

\boxed{ M \text{ est une matrice triangulaire supérieure} }

Il ne faut pas affirmer sans justification que $M$ est un polynôme en $M^2$ . Bien que ce soit vrai ici (car $M^2$ a des valeurs propres distinctes), il est plus rigoureux d'utiliser la stabilité des sous-espaces propres induite par la commutation.