Racine carrée d'une matrice à valeur propre multiple

On considère la matrice suivante de $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ :

A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 3 & 3 & 1 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Montrer que $A$ est diagonalisable et déterminer une matrice diagonale $D$ et une matrice inversible $Q$ telles que $Q^{-1}AQ = D$ .
On souhaite résoudre l'équation $M^{2} = A$ $M^{2} = A$ pour $M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ $M \in M_{3} (R)$ .
1. Montrer que si $M^2 = A$ , alors $M$ commute avec $A$ .
2. En déduire que les sous-espaces propres de $A$ sont stables par $M$ .
3. Déterminer la forme des matrices $M$ solutions en fonction de $Q$ .

1.

Pour la réduction, vérifier que $1$ et $2$ sont racines du polynôme caractéristique.

2.

La stabilité des sous-espaces propres par un endomorphisme qui commute est un résultat classique de cours.

3.

Si $M$ stabilise $E_1$ (dim 1) et $E_2$ (dim 2), alors dans une base adaptée, $M$ est diagonale par blocs. Résoudre l'équation sur chaque bloc.

Idées clés

•

Réduction : $\chi_A(x) = (x-1)(x-2)^2$ avec $\dim(E_2) = 2$ .

•

Commutation et stabilité : $M$ préserve les sous-espaces propres de $A$ .

•

Résolution de $B^2 = 2 I_2$ dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

1. Réduction de $A$

Le calcul du polynôme caractéristique donne $\chi_A(x) = (x-1)(x-2)^2$ . Les sous-espaces propres sont : $E_1(A) = \text{Vect}(v_1)$ avec $v_1 = (1, -1, -1)^T$ . $E_2(A) = \text{ker}(A-2I) = \text{ker} \begin{pmatrix} -3 & -1 & -1 3 & 1 & 1 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \{ (x,y,z) \mid 3x+y+z=0 \}$ . On a $\dim E_2(A) = 2$ , donc $A$ est diagonalisable. Avec $v_2 = (0, 1, -1)^T$ et $v_3 = (1, -3, 0)^T$ (par exemple), on a :

\boxed{Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 -1 & 1 & -3 -1 & -1 & 0 \end{pmatrix},   D = \text{diag}(1, 2, 2)}

2. Résolution de $M^2 = A$

Si $M^2 = A$ , alors $MA = M(M^2) = M^3$ et $AM = (M^2)M = M^3$ . Donc $MA = AM$ .
Comme $M$ et $A$ commutent, $M$ laisse stable tout sous-espace propre de $A$ .
Dans la base de diagonalisation de $A$ , la matrice de $M$ s'écrit par blocs : $Q^{-1}MQ = \begin{pmatrix} a & 0 0 & B \end{pmatrix} \text{où } a \in \mathcal{M}_1(\mathbb{R}), B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ L'équation $M^2 = A$ devient : $\begin{pmatrix} a^2 & 0 0 & B^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 2 I_2 \end{pmatrix}$ On en tire $a^2 = 1 \implies a = \pm 1$ . Et $B^2 = 2 I_2$ . Comme le polynôme $X^2-2$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ , $B$ est diagonalisable de valeurs propres incluses dans $\{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$ .

Analyse des solutions pour $B$ :

Cas 1 : $\text{Sp}(B) = \{\sqrt{2}\}$ . Alors $B = \sqrt{2} I_2$ .
Cas 2 : $\text{Sp}(B) = \{-\sqrt{2}\}$ . Alors $B = -\sqrt{2} I_2$ .
Cas 3 : $\text{Sp}(B) = \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$ . Alors $B$ est semblable à $\text{diag}(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ . Ce sont les matrices de trace nulle et de déterminant $-2$ . Elles s'écrivent : $B = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \gamma & -\alpha \end{pmatrix}$ avec $\alpha^2 + \beta\gamma = 2$ .

L'ensemble des solutions est :

\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ Q \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 0 & B \end{pmatrix} Q^{-1} \mid B^2 = 2 I_2 \right\} }

Attention, quand une valeur propre est multiple (ici 2), la matrice $M$ n'est pas forcément diagonale dans la base de diagonalisation de $A$ . Elle est seulement "diagonale par blocs". Il y a ici une infinité de solutions.