Existence de racines carrées pour une matrice diagonalisable

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ que l'on suppose diagonalisable.

Démontrer qu'il existe au moins une matrice $X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que :

X^2 = A

1.

Utiliser la définition d'une matrice diagonalisable pour se ramener à une matrice diagonale $D$ .

2.

Chercher une racine carrée de $D$ sous forme d'une matrice diagonale en exploitant les propriétés du corps $\mathbb{C}$ .

3.

Effectuer un changement de base inverse pour revenir à la matrice $A$ .

Idées clés

•

Réduction au cas diagonal : l'équation $X^2 = A$ est plus simple à résoudre dans une base de diagonalisation.

•

Utilisation de la clôture algébrique de $\mathbb{C}$ : tout nombre complexe admet une racine carrée.

Résolution.

Par hypothèse, la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Il existe donc une matrice inversible $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et une matrice diagonale $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que : $A = P D P^{-1}$ Notons $D = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ , où les $(\lambda_i)_{1 \le i \le n}$ sont les valeurs propres de $A$ .
Cherchons une matrice $Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $Y^2 = D$ . Comme nous travaillons sur le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ , chaque valeur propre $\lambda_i$ possède au moins une racine carrée complexe. Pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$ , on choisit un complexe $\mu_i$ tel que : $\mu_i^2 = \lambda_i$ Définissons alors la matrice diagonale $D'$ suivante : $\boxed{D' = \text{diag}(\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n)}$
Vérifions que $D'$ est une racine carrée de $D$ . Par produit de matrices diagonales, on a immédiatement : $(D')^2 = \text{diag}(\mu_1^2, \mu_2^2, \dots, \mu_n^2) = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) = D$
Posons maintenant la matrice $X$ définie par le changement de base : $\boxed{X = P D' P^{-1}}$ Calculons le carré de cette matrice : \begin{align*} X^2 &= (P D' P^{-1}) (P D' P^{-1})
&= P D' (P^{-1} P) D' P^{-1}
&= P (D')^2 P^{-1} \end{align*} D'après le résultat précédent sur $D'$ , nous obtenons : $\boxed{X^2 = P D P^{-1} = A}$ L'existence d'une telle matrice $X$ est ainsi établie.

L'énoncé ne demande pas l'unicité. En général, il existe de nombreuses racines carrées (par exemple, pour $I_2$ , toute symétrie est une racine carrée). De plus, attention au corps : dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , une matrice diagonalisable avec des valeurs propres négatives n'admet pas forcément de racine carrée réelle.