Racine carrée d'une matrice triangulaire

On considère la matrice $A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 1 & 4 & 0 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Déterminer l'ensemble des matrices

M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})

vérifiant l'équation

M^{2} = A

.

1.

Commencer par justifier que si $M^2 = A$ , alors $M$ commute avec $A$ .

2.

Utiliser les propriétés du commutant d'une matrice à valeurs propres distinctes pour montrer que $M$ est nécessairement triangulaire inférieure.

3.

Poser $M$ sous forme triangulaire et résoudre le système d'équations issu de $M^2 = A$ .

4.

Vérifier qu'il existe 8 solutions en tenant compte des combinaisons de signes pour les racines des éléments diagonaux.

Idées clés

•

Commutation : $M$ doit commuter avec $A$ puisque $M \cdot M^2 = M^2 \cdot M$ .

•

Structure des matrices : Le commutant d'une matrice à valeurs propres distinctes est l'ensemble des polynômes en cette matrice.

•

Algèbre des matrices triangulaires : L'ensemble des matrices triangulaires inférieures est stable par passage au polynôme.

1. Analyse de la structure de $M$ .

Soit $M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ une solution de l'équation $M^2 = A$ . On observe que $A$ est une matrice triangulaire inférieure. Ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux :

\text{Sp}(A) = \{1, 4, 9\}

Les valeurs propres de $A$ sont réelles et distinctes. Ainsi, $A$ est diagonalisable et son commutant, noté $\mathcal{C}(A)$ , est un espace vectoriel de dimension 3. On sait que $\mathcal{C}(A) = \mathbb{R}[A] = \text{Vect}(I, A, A^2)$ .

Comme $M^2 = A$ , $M$ commute avec $A$ ( $MA = M^3 = AM$ ). Par conséquent, $M \in \mathbb{R}[A]$ . L'ensemble des matrices triangulaires inférieures est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ . Comme $A$ est triangulaire inférieure, toute puissance de $A$ , et donc tout polynôme en $A$ , l'est aussi.

\boxed{M \text{ est nécessairement une matrice triangulaire inférieure.}}

2. Résolution du système.

Posons $M = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f \end{pmatrix}$ . Le calcul de $M^2$ donne :

M^2 = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0 b(a+c) & c^2 & 0 ad+eb+fd & e(c+f) & f^2 \end{pmatrix}

Par identification avec $A$ , nous obtenons les équations suivantes :

$a^2 = 9$ , $c^2 = 4$ , $f^2 = 1$ .
$b(a+c) = 1$ .
$e(c+f) = 1$ .
$d(a+f) + be = 1$ .

3. Détermination des coefficients.

D'après (i), nous avons $a \in \{3, -3\}$ , $c \in \{2, -2\}$ et $f \in \{1, -1\}$ . Remarquons que pour tout choix de signes, les sommes $a+c$ , $c+f$ et $a+f$ sont non nulles, ce qui garantit l'existence de $b, e$ et $d$ .

Les coefficients $b$ et $e$ sont donnés par $b = \frac{1}{a+c}$ et $e = \frac{1}{c+f}$ .
Le coefficient $d$ est donné par $d = \frac{1 - be}{a+f}$ .

Il y a $2^3 = 8$ triplets $(a, c, f)$ possibles. Étudions les quatre cas où $a=3$ (les quatre autres s'en déduisent par un signe global $-$ ).

Cas 1 : $(a,c,f) = (3, 2, 1)$

b = \frac{1}{5},   e = \frac{1}{3},   d = \frac{1 - 1/15}{4} = \frac{14}{60} = \frac{7}{30}

Cas 2 : $(a,c,f) = (3, -2, 1)$

b = 1,   e = -1,   d = \frac{1 - (-1)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Cas 3 : $(a,c,f) = (3, 2, -1)$

b = \frac{1}{5},   e = 1,   d = \frac{1 - 1/5}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Cas 4 : $(a,c,f) = (3, -2, -1)$

b = 1,   e = -\frac{1}{3},   d = \frac{1 - (-1/3)}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Conclusion.

L'ensemble des solutions est constitué des 8 matrices suivantes :

\boxed{ M \in \left\{ \pm \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 1/5 & 2 & 0 7/30 & 1/3 & 1 \end{pmatrix}, \pm \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 1 & -2 & 0 1/2 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \pm \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 1/5 & 2 & 0 2/5 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \pm \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 1 & -2 & 0 2/3 & -1/3 & -1 \end{pmatrix} \right\} }

Ne pas oublier que les signes de $a, c, f$ peuvent être choisis indépendamment. Il est fréquent d'oublier les cas où les signes sont différents (ex: $a=3$ et $c=-2$ ), pensant à tort que seule la solution $\pm \sqrt{A}$ (avec des racines positives sur la diagonale) existe.