Réduction et équations matricielles

Résolution.

1. Notons $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1$
   1 & 1 & 1
   1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. On remarque immédiatement que :
   $$A = 2I_3 - J$$
   Comme $J$ est une matrice de rang $1$, son spectre est $\{ \text{Tr}(J), 0 \} = \{3, 0\}$. Il en résulte que les valeurs propres de $A$ sont $2-3 = -1$ et $2-0 = 2$. Puisque $A$ est symétrique réelle, elle est diagonalisable. Son polynôme minimal est donc scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ et admet pour racines les valeurs propres de $A$. On en déduit :
   $$\boxed{\mu_A = (X-2)(X+1) = X^2 - X - 2}$$
   L'espace $\mathbb{R}[A]$ est l'algèbre des polynômes en $A$. Sa dimension est égale au degré du polynôme minimal.
   $$\boxed{\dim \mathbb{R}[A] = 2}$$

2. Soit $n \in \mathbb{N}$. On effectue la division euclidienne de $X^n$ par $\mu_A$ :
   $$X^n = \mu_A(X) Q(X) + b_n X + a_n$$
   En évaluant cette égalité en les racines de $\mu_A$ (qui sont $2$ et $-1$), on obtient le système suivant :
   $$\begin{cases} 2^n = 2b_n + a_n$$
   (-1)^n = -b_n + a_n \end{cases}
   Par soustraction, on trouve $3b_n = 2^n - (-1)^n$, d'où $b_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}$. Puis, $a_n = b_n + (-1)^n = \frac{2^n - (-1)^n + 3(-1)^n}{3} = \frac{2^n + 2(-1)^n}{3}$. En évaluant l'égalité polynomiale en $A$, sachant que $\mu_A(A) = 0$, on obtient :
   $$\boxed{A^n = \frac{2^n + 2(-1)^n}{3} I_3 + \frac{2^n - (-1)^n}{3} A}$$

3. La matrice $A$ est diagonalisable. Il existe $P \in GL_3(\mathbb{R})$ telle que $A = P D P^{-1}$ avec $D = \text{diag}(2, 2, -1)$. Une matrice $M$ commute avec $A$ si et seulement si $P^{-1}MP$ commute avec $D$. Posons $N = P^{-1}MP$. La condition $ND = DN$ impose, par un calcul par blocs, que $N$ est de la forme :
   $$N = \begin{pmatrix} B & 0$$
   0 & c \end{pmatrix}   \text{avec } B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \text{ et } c \in \mathbb{R}
   L'espace de ces matrices $N$ est de dimension $2^2 + 1^2 = 5$. Par isomorphisme, la dimension du commutant de $A$ est la même.
   $$\boxed{\dim \mathcal{C}(A) = 5}$$

4. Supposons qu'il existe $X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $X^2 = A$. Alors, par passage au déterminant, on aurait $\det(X)^2 = \det(A)$. Calculons le déterminant de $A$. Comme $A$ est semblable à $\text{diag}(2, 2, -1)$, on a :
   $$\det(A) = 2 \times 2 \times (-1) = -4$$
   On aboutirait donc à $\det(X)^2 = -4$, ce qui est impossible pour une matrice à coefficients réels car le carré d'un nombre réel ($\det(X)$) est toujours positif ou nul.
   $$\boxed{\text{L'équation } X^2 = A \text{ n'a pas de solution dans } \mathcal{M}_3(\mathbb{R}).}$$