Image de l'application carré dans Mn(C)

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'application $\Phi : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ définie par $\Phi(M) = M^2$ .

L'objectif est de déterminer l'image de cette application, notée $\text{Im}(\Phi)$ , en utilisant la réduction de Jordan.

On rappelle qu'un bloc de Jordan de taille $k \ge 1$ associé à $\lambda \in \mathbb{C}$ est la matrice :

J_k(\lambda) = \lambda I_k + N_k   \text{où}   N_k = \sum_{j=1}^{k-1} E_{j, j+1}

On admet que toute matrice de

\mathcal{M}_n(\mathbb{C})

est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme

\text{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \dots, J_{k_r}(\lambda_r))

.

Soit $A \in GL_n(\mathbb{C})$ . Montrer que $A \in \text{Im}(\Phi)$ .
Soit $k \in \mathbb{N}^*$ . Déterminer la forme de Jordan de la matrice $J_k(0)^2$ .
En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les tailles des blocs de Jordan associés à la valeur propre nulle pour qu'une matrice $A$ appartienne à $\text{Im}(\Phi)$ .
Conclure sur la nature de $\text{Im}(\Phi)$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le fait qu'une matrice inversible est semblable à une somme de blocs $J_k(\lambda)$ avec $\lambda \neq 0$ . Pour un tel bloc, chercher une racine carrée sous la forme d'un polynôme en $J_k(\lambda)$ en utilisant le développement en série entière de $(1+x)^{1/2}$ .

2.

Pour la question 2, considérer l'endomorphisme nilpotent $u$ associé à $N_k$ . Étudier les noyaux itérés de $u^2$ ou observer l'action de $u^2$ sur les vecteurs de la base canonique pour identifier les tailles des cycles.

3.

Pour la question 3, remarquer qu'une matrice est un carré si et seulement si chacun de ses blocs de Jordan (ou groupements de blocs associés à une même valeur propre) est un carré. Le cas $\lambda \neq 0$ étant traité, se focaliser sur la possibilité de partitionner les blocs de taille $k$ associés à 0.

Idées clés

•

Réduction de Jordan : décomposition de l'espace en sous-espaces stables.

•

Racine carrée d'un opérateur $I+N$ avec $N$ nilpotent via les séries binomiales.

•

Analyse de la structure de $N^2$ pour un bloc élémentaire.

Résolution.

Cas des matrices inversibles. Soit $A \in GL_n(\mathbb{C})$ . Par le théorème de réduction de Jordan, $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs $\text{diag}(J_{k_1}(\lambda_1), \dots, J_{k_r}(\lambda_r))$ . Puisque $A$ est inversible, toutes ses valeurs propres $\lambda_i$ sont non nulles. Il suffit de montrer que chaque bloc $J_k(\lambda)$ avec $\lambda \neq 0$ est un carré. On écrit : $J_k(\lambda) = \lambda \left( I_k + \frac{1}{\lambda} N_k \right)$ Soit $\mu$ tel que $\mu^2 = \lambda$ . On cherche une racine carrée de $I_k + \frac{1}{\lambda} N_k$ sous la forme $I_k + X$ . On utilise le développement en série entière de $(1+z)^{1/2} = \sum_{p=0}^{\infty} \binom{1/2}{p} z^p$ . Comme la matrice $M = \frac{1}{\lambda} N_k$ est nilpotente d'indice $k$ , la série appliquée à cette matrice est une somme finie : $S = \sum_{p=0}^{k-1} \binom{1/2}{p} \left( \frac{1}{\lambda} N_k \right)^p$ Par propriété des séries formelles, $S^2 = I_k + \frac{1}{\lambda} N_k$ . Ainsi, $(\mu S)^2 = J_k(\lambda)$ . \boxed{ \forall A \in GL_n(\mathbb{C}), \ A \in \text{Im}(\Phi) }
Étude du bloc nilpotent $J_k(0)$ . Soit $u$ $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{C}^k$ $C^{k}$ dont la matrice dans la base canonique $(e_1, \dots, e_k)$ $(e_{1}, \dots, e_{k})$ est $N_k$ $N_{k}$ . On a $u(e_j) = e_{j-1}$ $u (e_{j}) = e_{j - 1}$ pour $j > 1$ $j > 1$ et $u(e_1) = 0$ $u (e_{1}) = 0$ . L'application $u^2$ $u^{2}$ agit par $u^2(e_j) = e_{j-2}$ $u^{2} (e_{j}) = e_{j - 2}$ . On observe la structure de ses orbites :
- Orbite 1 : $e_k \to e_{k-2} \to e_{k-4} \to \dots$
- Orbite 2 : $e_{k-1} \to e_{k-3} \to e_{k-5} \to \dots$
La première orbite contient $\lceil k/2 \rceil$ $⌈ k /2 ⌉$ vecteurs non nuls, et la seconde en contient $\lfloor k/2 \rfloor$ $⌊ k /2 ⌋$ . Ces deux sous-espaces sont stables par $u^2$ $u^{2}$ et la restriction de $u^2$ $u^{2}$ à chacun d'eux est un bloc de Jordan de taille correspondante. Ainsi :
$\boxed{ J_k(0)^2 \sim J_{\lceil k/2 \rceil}(0) \oplus J_{\lfloor k/2 \rfloor}(0) }$
Condition sur la partie nilpotente. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . $A$ est un carré si et seulement si sa restriction à chaque sous-espace caractéristique est un carré. Pour $\lambda \neq 0$ , c'est toujours vrai d'après la question 1. Pour $\lambda = 0$ , soit $A_0$ la restriction de $A$ au sous-espace caractéristique associé à 0. $A_0$ est nilpotente. Si $A_0 = B_0^2$ avec $B_0$ nilpotente, et si $B_0 \sim \bigoplus_{i=1}^m J_{p_i}(0)$ , alors d'après la question 2 : $A_0 \sim \bigoplus_{i=1}^m \left( J_{\lceil p_i/2 \rceil}(0) \oplus J_{\lfloor p_i/2 \rfloor}(0) \right)$ Cela signifie que les blocs de Jordan de $A_0$ doivent pouvoir être regroupés par paires de tailles $(q_i, r_i)$ telles que $|q_i - r_i| \le 1$ . Note : Un bloc de taille $q$ peut être seul si $r=0$ , ce qui correspond à $p=1$ (car $\lceil 1/2 \rceil = 1$ et $\lfloor 1/2 \rfloor = 0$ ).
Conclusion sur l'image. L'image de $\Phi$ est l'ensemble des matrices $A$ telles que, pour la valeur propre nulle, si l'on note $n_k$ le nombre de blocs de Jordan de taille $k$ , il existe une suite d'entiers naturels $(b_m)_{m \ge 1}$ (représentant le nombre de blocs de taille $m$ dans une racine $B$ ) vérifiant : $\boxed{ \forall k \ge 1, \ n_k = 2b_{2k} + b_{2k-1} + b_{2k+1} }$ (avec la convention $b_0 = 0$ ). De manière plus imagée, $A$ est un carré si et seulement si ses blocs de Jordan pour 0 peuvent être issus de la fragmentation de blocs plus grands en deux morceaux de tailles quasi-égales.

Une erreur fréquente est de croire que toutes les matrices complexes sont des carrés. C'est faux pour les matrices nilpotentes : par exemple, $J_2(0)$ n'est pas un carré car on ne peut pas trouver $m$ tel que $\{\lceil m/2 \rceil, \lfloor m/2 \rfloor\} = \{2\}$ . Il faudrait au moins un autre bloc (de taille 1, 2 ou 3) pour l'accompagner.