Rang d'une matrice annulant X^3+X^2+X

Soit $n$ un entier naturel non nul et $A$ une matrice de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .

On suppose que la matrice $A$ satisfait l'équation polynomiale suivante :

A^{3} + A^{2} + A = 0_{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

Démontrer que le rang de la matrice $A$ est un nombre pair.

1.

Identifier un polynôme annulateur de la matrice $A$ et déterminer ses racines dans $\mathbb{C}$ .

2.

Utiliser le fait qu'un polynôme à coefficients réels possède des racines complexes conjuguées ayant la même multiplicité.

3.

Faire le lien entre la diagonalisabilité de $A$ sur $\mathbb{C}$ et l'expression de son rang en fonction des multiplicités de ses valeurs propres non nulles.

Idées clés

•

Diagonalisabilité par un polynôme annulateur à racines simples.

•

Propriété des racines complexes des polynômes réels.

•

Lien entre rang et spectre pour une matrice diagonalisable.

Résolution.

Considérons le polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ défini par :

P(X) = X^3 + X^2 + X

D'après l'énoncé, $P$ est un polynôme annulateur de la matrice $A$ . Nous pouvons factoriser ce polynôme dans $\mathbb{C}[X]$ :

P(X) = X(X^2 + X + 1) = X(X - j)(X - \bar{j})

où $j = e^{i\frac{2\pi}{3}} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ est une racine cubique de l'unité.

Les trois racines de $P$ (qui sont $0$ , $j$ , et $\bar{j}$ ) sont distinctes dans $\mathbb{C}$ . Le polynôme annulateur $P$ est donc scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ .

Par conséquent, la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

\boxed{A \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{C}}

Puisque $A$ est diagonalisable, son rang est égal au nombre de ses valeurs propres non nulles, comptées avec leur multiplicité. Soit $\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$ le spectre de $A$ dans $\mathbb{C}$ . On a :

\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A) \subset \{0, j, \bar{j}\}

Notons $m_0, m_j$ et $m_{\bar{j}}$ les multiplicités respectives de $0, j$ et $\bar{j}$ en tant que valeurs propres de $A$ . Si l'un de ces nombres n'est pas valeur propre, sa multiplicité est nulle.

Le rang de $A$ est alors donné par la somme des multiplicités des valeurs propres non nulles :

\operatorname{rg}(A) = m_j + m_{\bar{j}}

La matrice $A$ est à coefficients réels, donc son polynôme caractéristique $\chi_A$ appartient à $\mathbb{R}[X]$ . Une propriété fondamentale des polynômes réels est que si un nombre complexe $z$ est racine, alors son conjugué $\bar{z}$ est également racine avec la même multiplicité.

Comme $j$ et $\bar{j}$ sont conjugués, on en déduit immédiatement :

\boxed{m_j = m_{\bar{j}}}

En remplaçant dans l'expression du rang, nous obtenons :

\operatorname{rg}(A) = 2 m_j

L'entier $m_j$ étant un entier naturel, le produit $2 m_j$ est bien un nombre pair.

\boxed{\operatorname{rg}(A) \equiv 0 \pmod 2}

Attention à ne pas oublier de justifier la diagonalisabilité de $A$ . Si $A$ n'était pas diagonalisable, le rang ne serait pas simplement la somme des multiplicités des valeurs propres non nulles (il faudrait passer par la réduction de Dunford ou une forme trigonalisée pour s'en assurer, bien que le rang soit ici invariant par extension de corps).