Équations polynomiales et surjectivité

Résolution.

1. Caractérisation de $A$ : Montrons que $A$ convient si et seulement si $A$ est diagonalisable. Condition suffisante : Supposons $A$ diagonalisable. Il existe $Q \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que :
   $$A = Q \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) Q^{-1}$$
   Soit $P$ un polynôme non constant. Par le théorème de d'Alembert-Gauss, pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$, il existe $\mu_i \in \mathbb{C}$ tel que $P(\mu_i) = \lambda_i$. En posant :
   $$M = Q \text{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n) Q^{-1}$$
   On a immédiatement $P(M) = Q \text{diag}(P(\mu_1), \dots, P(\mu_n)) Q^{-1} = A$. Condition nécessaire : Supposons $A$ non diagonalisable. Alors $A$ possède au moins un sous-espace caractéristique associé à une valeur propre $\lambda$ dont la structure n'est pas diagonale. Plus précisément, dans sa décomposition de Dunford $A = D+N$, on a $N \neq 0$. Il existe donc un bloc nilpotent de taille $k \geq 2$ dans sa forme réduite. Choisissons $P(X) = (X-\mu)^n + \lambda$. L'équation $P(M)=A$ devient $(M-\mu I)^n = A - \lambda I$. Si $M$ existe, alors $B = M-\mu I$ est une matrice telle que $B^n = A - \lambda I$. Or, $A-\lambda I$ possède un bloc nilpotent de taille $k \geq 2$. Soit $v$ un vecteur tel que $(A-\lambda I)^{k-1}v \neq 0$ et $(A-\lambda I)^k v = 0$. Si $B^n = A-\lambda I$, alors $B$ est nilpotente (car son spectre est réduit à $\{0\}$). Mais alors $B^{n \times k} = (A-\lambda I)^k = 0$. Comme $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, son indice de nilpotence est $\leq n$, donc $B^n = 0$. Ceci implique $A - \lambda I = 0$, ce qui contredit le fait que le bloc est de taille $k \geq 2$.
   $$\boxed{A \text{ convient } \iff A \text{ est diagonalisable}}$$

2. Surjectivité de $\Phi_P$ : Condition nécessaire : Supposons $\Phi_P$ surjective. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$. Considérons la matrice $A = \lambda I + J$, où $J = \sum_{i=1}^{n-1} E_{i,i+1}$ est un bloc nilpotent de taille $n$. Par hypothèse, il existe $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tel que $P(M) = A$. Comme $M$ commute avec $A$, et que le commutant de $A$ est $\mathbb{C}[A]$ (car $A$ est une matrice cyclique), il existe un polynôme $Q$ tel que $M = Q(A)$. Ainsi $M$ est de la forme $\mu I + N$ avec $N$ nilpotente et $\mu \in \mathbb{C}$. En utilisant la formule de Taylor pour les polynômes :
   $$P(M) = P(\mu I + N) = P(\mu)I + P'(\mu)N + \frac{P''(\mu)}{2!}N^2 + \dots$$
   Comme $P(M) = \lambda I + J$, on identifie les termes par rapport à la base $(I, J, J^2, \dots)$ : 1. Sur la diagonale : $P(\mu) = \lambda$. 2. Sur la première sur-diagonale : Comme $N$ est une combinaison linéaire de $(J, J^2, \dots)$, écrivons $N = c_1 J + c_2 J^2 + \dots$. Le coefficient devant $J$ dans $P(M)$ est $P'(\mu)c_1$. On doit avoir $P'(\mu)c_1 = 1$. Cela impose :
   $$\boxed{P'(\mu) \neq 0}$$

   Condition suffisante : Supposons que pour tout $\lambda$, il existe $\mu$ tel que $P(\mu)=\lambda$ et $P'(\mu) \neq 0$. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Par réduction (Dunford ou réduction par blocs), il suffit de montrer que chaque bloc de la forme $\lambda I + N$ (avec $N$ nilpotente) possède un antécédent. On cherche $M$ sous la forme $\mu I + X$ avec $X$ nilpotente. On veut :

   $$P(\mu)I + P'(\mu)X + \frac{P''(\mu)}{2!}X^2 + \dots + \frac{P^{(n)}(\mu)}{n!}X^n = \lambda I + N$$
   En choisissant $\mu$ tel que $P(\mu) = \lambda$ et $P'(\mu) \neq 0$, l'équation devient :
   $$P'(\mu)X + \sum_{k=2}^n \frac{P^{(k)}(\mu)}{k!}X^k = N$$
   C'est une équation de la forme $f(X) = N$ où $f(X) = a_1 X + a_2 X^2 + \dots$ avec $a_1 \neq 0$. On peut résoudre cette équation par identification successive des coefficients de $X$ en tant que polynôme en $N$ ($X = \sum_{i=1}^{n-1} x_i N^i$). Comme $a_1 \neq 0$, le système est triangulaire avec des termes diagonaux non nuls, donc admet une solution.

3. Application à $P = X^3 + X$ : Le critère de la question 2 s'énonce : pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$, le polynôme $P(X) - \lambda$ possède au moins une racine simple. Une racine $\mu$ de $P(X) - \lambda$ est multiple si et seulement si $P'(\mu) = 0$. Or $P'(X) = 3X^2 + 1$, dont les racines sont $\pm \frac{i}{\sqrt{3}}$. Les valeurs critiques de $P$ sont :
   $$P\left(\frac{i}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2i}{3\sqrt{3}}   \text{et}   P\left(-\frac{i}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{2i}{3\sqrt{3}}$$
   - Si $\lambda \notin \{ \pm \frac{2i}{3\sqrt{3}} \}$, toutes les racines de $P(X)-\lambda$ sont simples. - Si $\lambda = \frac{2i}{3\sqrt{3}}$, $\mu = \frac{i}{\sqrt{3}}$ est racine double, mais la troisième racine est simple (car la somme des racines est nulle, donc la troisième racine est $-\frac{2i}{\sqrt{3}}$, qui n'annule pas $P'$). Dans tous les cas, il existe une racine $\mu$ telle que $P'(\mu) \neq 0$.
   $$\boxed{\text{L'application } M \mapsto M^3 + M \text{ est donc surjective.}}$$