Résolution d'une équation matricielle polynomiale

Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ .

Déterminer toutes les matrices $M$ appartenant à $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ , puis à $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ , vérifiant l'équation :

M^{2} + M + I_{2} = A

1.

Remarquer que toute solution $M$ commute avec la matrice $A$ .

2.

Étudier la diagonalisabilité de $A$ et en déduire que $M$ est diagonalisable dans la même base que $A$ .

3.

Traduire l'équation matricielle en un système d'équations scalaires sur les valeurs propres.

4.

Discuter l'existence de solutions selon le corps de base ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Idées clés

•

Propriété de commutation : $M$ commute avec tout polynôme en $M$ , donc $M$ commute avec $A$ .

•

Réduction simultanée : Si $A$ possède des valeurs propres simples, toute matrice commutant avec $A$ est diagonalisable dans la même base.

•

Résolution scalaire : L'équation matricielle $P(M)=A$ se ramène à $P(\lambda_i) = \mu_i$ .

1. Recherche de la structure des solutions.

Soit $M$ une éventuelle solution. Comme $A = M^2 + M + I_2$ , la matrice $A$ est un polynôme en $M$ .

Par conséquent, $M$ et $A$ commutent : $MA = AM$ .

Étudions la matrice $A$ . Son polynôme caractéristique est :

\chi_A(X) = \det(X I_2 - A) = X^2 - 1 = (X-1)(X+1)

Les valeurs propres de $A$ sont $1$ et $-1$ .

Comme $A$ admet deux valeurs propres distinctes en dimension 2, $A$ est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.

Un calcul immédiat donne les vecteurs propres associés :

E_1(A) = \text{Vect} \begin{pmatrix} 1 1 \end{pmatrix}   \text{et}   E_{-1}(A) = \text{Vect} \begin{pmatrix} 1 -1 \end{pmatrix}

Puisque $M$ commute avec $A$ , $M$ stabilise les sous-espaces propres de $A$ .

Comme ces sous-espaces sont des droites, tout vecteur propre de $A$ est nécessairement un vecteur propre de $M$ .

Ainsi, $M$ est diagonalisable dans la même base que $A$ . Il existe $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix}$ telle que :

A = P \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix} P^{-1}   \text{et}   M = P \begin{pmatrix} x & 0 0 & y \end{pmatrix} P^{-1}

2. Résolution de l'équation scalaire.

L'équation $M^2 + M + I_2 = A$ est équivalente au système suivant sur les coefficients diagonaux :

\begin{cases} x^2 + x + 1 = 1 y^2 + y + 1 = -1 \end{cases}

La première équation donne :

x^2 + x = 0 \iff x(x+1) = 0 \iff \boxed{x \in \{0, -1\}}

La seconde équation s'écrit :

y^2 + y + 2 = 0

Le discriminant de ce trinôme est $\Delta = 1^2 - 4(1)(2) = -7$ .

3. Analyse selon le corps $\mathbb{K$ $K$ .}

Cas $\mathbb{K$ = \mathbb{R} $K = R$ :}

L'équation $y^2 + y + 2 = 0$ n'admet aucune solution réelle car $\Delta < 0$ .

Il n'existe donc aucune valeur réelle pour $y$ , et par suite aucune matrice $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ solution.

\boxed{\mathcal{S}_{\mathbb{R}} = \emptyset}

Cas $\mathbb{K$ = \mathbb{C} $K = C$ :}

Dans $\mathbb{C}$ , l'équation $y^2 + y + 2 = 0$ admet deux solutions :

y_1 = \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2}   \text{et}   y_2 = \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2}

Nous avons 2 choix pour $x$ et 2 choix pour $y$ , ce qui donne 4 couples $(x, y)$ possibles.

Les solutions sont de la forme $M = P \begin{pmatrix} x & 0 0 & y \end{pmatrix} P^{-1}$ . En utilisant $P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix}$ , on obtient :

M = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 0 0 & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x+y & x-y x-y & x+y \end{pmatrix}

L'ensemble des solutions dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ est donc :

\boxed{\mathcal{S}_{\mathbb{C}} = \left\{ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x+y & x-y x-y & x+y \end{pmatrix} \mid x \in \{0, -1\}, y \in \left\{ \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2} \right\} \right\}}

Une erreur classique consiste à oublier que $M$ et $A$ commutent. Sans cette remarque, on pourrait tenter d'écrire $M = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix}$ et résoudre un système de 4 équations non linéaires à 4 inconnues, ce qui est beaucoup plus laborieux.