Résolution d'équations polynomiales matricielles

Résolution.

1. Étude de la matrice $A$ : La matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1$
   1 & 1 \end{pmatrix} est de rang 1, donc $0$ est valeur propre. Sa trace est $2$, donc l'autre valeur propre est $2$. Les valeurs propres sont distinctes, $A$ est diagonalisable. On trouve les vecteurs propres associés : $E_0(A) = \text{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1$
   -1 \end{pmatrix}\right) et $E_2(A) = \text{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1$
   1 \end{pmatrix}\right). En posant $P = \begin{pmatrix} 1 & 1$
   -1 & 1 \end{pmatrix}, on a $A = P D P^{-1}$ avec $D = \begin{pmatrix} 0 & 0$
   0 & 2 \end{pmatrix}. Analyse : Soit $X$ une solution. Comme $X^2 + X = A$, $X$ commute avec $A$. Puisque $A$ a des valeurs propres distinctes en dimension 2, $X$ est diagonalisable dans la même base que $A$. Il existe donc $Y = \text{diag}(y_1, y_2)$ telle que $X = P Y P^{-1}$. L'équation devient $Y^2 + Y = D$, ce qui équivaut au système :
   $$\begin{cases} y_1^2 + y_1 = 0$$
   y_2^2 + y_2 = 2 \end{cases}
   Résolution scalaire : Les solutions de $y^2 + y = 0$ sont $y \in \{0, -1\}$. Les solutions de $y^2 + y - 2 = 0$ sont $y \in \{1, -2\}$. On obtient 4 couples $(y_1, y_2)$ possibles, donc 4 matrices $Y$ :
   $$Y_1 = \text{diag}(0, 1),   Y_2 = \text{diag}(0, -2),   Y_3 = \text{diag}(-1, 1),   Y_4 = \text{diag}(-1, -2)$$
   Synthèse : En calculant $X_i = P Y_i P^{-1}$ avec $P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1$
   1 & 1 \end{pmatrix}, on trouve :
   $$\boxed{X_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1$$
   1 & 1 \end{pmatrix},   X_2 = \begin{pmatrix} -1 & -1
   -1 & -1 \end{pmatrix},   X_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1
   1 & 0 \end{pmatrix},   X_4 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -3 & -1
   -1 & -3 \end{pmatrix}}

2. Dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$, les équations scalaires $y^2+y=0$ et $y^2+y=2$ n'ont pas d'autres racines que celles trouvées dans $\mathbb{R}$ (car ce sont des équations de degré 2 dont le discriminant est positif). Le nombre de solutions reste donc identique.
   $$\boxed{\text{Il y a exactement 4 solutions dans } \mathcal{M}_2(\mathbb{C}).}$$

3. Étude de la matrice $B$ : $B = \begin{pmatrix} -1 & 0$
   10 & 4 \end{pmatrix} est triangulaire. Ses valeurs propres sont $-1$ et $4$. Elles sont distinctes, donc $B$ est diagonalisable. Soit $Q$ la matrice de passage telle que $B = Q \Delta Q^{-1}$ avec $\Delta = \text{diag}(-1, 4)$. Comme précédemment, toute solution $X$ s'écrit $X = Q Y Q^{-1}$ avec $Y = \text{diag}(y_1, y_2)$. L'équation matricielle impose :
   $$\begin{cases} y_1^3 - 2y_1 = -1$$
   y_2^3 - 2y_2 = 4 \end{cases}
   Résolution scalaire : Pour $y_1^3 - 2y_1 + 1 = 0$, on remarque la racine évidente $1$. On factorise par $(y-1)$ : $y_1^3 - 2y_1 + 1 = (y_1-1)(y_1^2 + y_1 - 1)$. Les racines sont $\{1, \omega, \omega'\}$ où $\omega = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $\omega' = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. Pour $y_2^3 - 2y_2 - 4 = 0$, on remarque la racine évidente $2$. On factorise : $y_2^3 - 2y_2 - 4 = (y_2-2)(y_2^2 + 2y_2 + 2)$. Le discriminant de $y^2 + 2y + 2$ est $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0$. La seule racine réelle est $2$. Conclusion pour $B$ : Dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, $y_1$ a 3 valeurs possibles et $y_2$ n'en a qu'une seule ($y_2=2$). Il y a donc 3 solutions réelles. En utilisant $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0$
   -2 & 1 \end{pmatrix} :
   $$\boxed{X \in \left\{ Q \begin{pmatrix} 1 & 0$$
   0 & 2 \end{pmatrix} Q^{-1},   Q \begin{pmatrix} \omega & 0
   0 & 2 \end{pmatrix} Q^{-1},   Q \begin{pmatrix} \omega' & 0
   0 & 2 \end{pmatrix} Q^{-1} \right\}}

4. Généralisation : Soit $A = S \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) S^{-1}$ avec les $\lambda_i$ deux à deux distincts. Une matrice $X$ vérifie $P(X) = A$ si et seulement si $X$ commute avec $A$. La condition "$\lambda_i$ distincts" implique que le commutant de $A$ est l'ensemble des matrices diagonalisables dans la base de $S$. On a donc $X = S \text{diag}(y_1, \dots, y_n) S^{-1}$ avec $P(y_i) = \lambda_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. D'après le théorème fondamental de l'algèbre, chaque équation scalaire $P(y) = \lambda_i$ possède au plus $d = \deg(P)$ racines distinctes dans $\mathbb{C}$. Le nombre maximal de choix pour chaque $y_i$ est $d$. Comme il y a $n$ coefficients diagonaux à choisir indépendamment :
   $$\boxed{\text{Le nombre maximal de solutions est } d^n.}$$