Structure des racines réelles de -I

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On s'intéresse aux matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant l'équation $M^2 = -I_n$ .

À l'aide du déterminant, démontrer que si une telle matrice existe, alors $n$ est nécessairement un nombre pair.
On suppose ici $n=2$ $n = 2$ . Soit $u$ $u$ un vecteur non nul de $\mathbb{R}^2$ $R^{2}$ .
1. Montrer que la famille $(u, Mu)$ constitue une base de $\mathbb{R}^2$ .
2. Déterminer la matrice de l'endomorphisme canoniquement associé à $M$ dans cette base.
3. En déduire que $M$ est semblable à la matrice $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Dans le cas général où $n=2p$ , montrer que $M$ est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme : $\text{Diag}(J, J, \dots, J) = \begin{pmatrix} J & & (0) & \ddots & (0) & & J \end{pmatrix}$ où $J$ est le bloc défini à la question précédente.

1.

Pour la parité de $n$ , utiliser la relation $\det(M^2) = (\det M)^2$ .

2.

Pour la liberté de $(u, Mu)$ , raisonner par l'absurde : si $Mu = \lambda u$ , que dire de $M^2u$ ?

3.

Pour le cas général, procéder par récurrence sur $p$ ou utiliser le lemme des noyaux sur des sous-espaces stables de dimension 2.

Idées clés

•

Lien entre déterminant et parité de la dimension.

•

Construction de bases adaptées à la structure cyclique d'un endomorphisme.

•

Réduction par blocs via la recherche de sous-espaces stables.

Résolution.

Supposons qu'il existe $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $M^2 = -I_n$ . En passant au déterminant, on obtient : $\det(M^2) = \det(-I_n)$ D'une part, $\det(M^2) = (\det M)^2$ . Comme $M$ est à coefficients réels, $(\det M)^2 \geq 0$ . D'autre part, $\det(-I_n) = (-1)^n \det(I_n) = (-1)^n$ . On en déduit l'égalité : $\boxed{(\det M)^2 = (-1)^n}$ Comme le membre de gauche est positif ou nul, on a nécessairement $(-1)^n = 1$ , ce qui impose que : $\boxed{n \text{ est pair}}$
On suppose $n=2$ $n = 2$ . Soit $u \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ $u \in R^{2} ∖ {0}$ .
1. Montrons que $(u, Mu)$ est libre. Supposons qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $Mu = \lambda u$ . Alors $M^2u = M(Mu) = M(\lambda u) = \lambda^2 u$ . Or, par hypothèse, $M^2u = -I_2u = -u$ . On aurait donc $\lambda^2 u = -u$ , soit $(\lambda^2 + 1)u = 0$ . Comme $u \neq 0$ , cela implique $\lambda^2 + 1 = 0$ , ce qui est impossible pour $\lambda \in \mathbb{R}$ . La famille est libre et comporte $n=2$ vecteurs : $\boxed{(u, Mu) \text{ est une base de } \mathbb{R}^2}$
2. Notons $e_1 = u$ et $e_2 = Mu$ . L'endomorphisme $f$ associé à $M$ vérifie : $f(e_1) = e_2 = 0 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2$ $f(e_2) = f^2(e_1) = -e_1 = -1 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2$ La matrice de $f$ dans la base $(e_1, e_2)$ est donc : $\boxed{ \text{Mat}_{(e_1, e_2)}(f) = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix} = J }$
3. $M$ est la matrice de $f$ dans la base canonique. D'après la formule de changement de base, $M$ est semblable à sa matrice dans n'importe quelle autre base. Ainsi, $M$ est semblable à $J$ .
On procède par récurrence sur $p$ où $n=2p$ . L'initialisation $p=1$ a été faite en question 2. Supposons la propriété vraie pour $p-1$ . Soit $M \in \mathcal{M}_{2p}(\mathbb{R})$ telle que $M^2 = -I$ . Soit $u \neq 0$ . Le plan $V = \text{Vect}(u, Mu)$ est stable par $M$ car $M(u) = Mu \in V$ et $M(Mu) = -u \in V$ . Comme la restriction de $M$ à $V$ vérifie aussi $M_{|V}^2 = -\text{Id}_V$ , il existe une base de $V$ où la matrice de la restriction est $J$ . Considérons un supplémentaire stable de $V$ (ce qui est possible car $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ , ou en utilisant l'orthogonalité pour un produit scalaire pour lequel $M$ est une isométrie, mais restons plus élémentaire). Alternativement, on peut utiliser le lemme des noyaux. Comme $X^2+1$ annule $M$ , $\mathbb{R}^{2p} = \bigoplus_{i=1}^p V_i$ où chaque $V_i$ est un plan stable par $M$ tel que $M_{|V_i}^2 = -\text{Id}_{V_i}$ . En recollant les bases de chaque $V_i$ , on obtient une base de $\mathbb{R}^{2p}$ dans laquelle la matrice est : $\boxed{ \text{Diag}(J, \dots, J) }$

Une erreur fréquente est de penser que $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . C'est faux car son polynôme minimal $X^2+1$ n'a pas de racines réelles. Elle est cependant diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .