Équations polynomiales matricielles et réduction

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E$ un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension $n$ . On considère $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice diagonalisable et $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme non constant. On s'intéresse à l'ensemble des solutions $L = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid P(M) = A\}$ .

Montrer que l'ensemble $L$ est non vide.
On suppose dans cette question que $A$ $A$ possède $n$ $n$ valeurs propres distinctes.
1. Montrer que si $M \in L$ , alors $M$ commute avec $A$ . En déduire que $M$ est diagonalisable dans une base où $A$ l'est.
2. Montrer que $L$ est un ensemble fini et proposer un majorant de son cardinal en fonction de $n$ et de $d = \deg(P)$ .
On suppose ici que $P = X^2$ $P = X^{2}$ .
1. Calculer le cardinal de $L$ lorsque $A$ possède $n$ valeurs propres distinctes non nulles.
2. Montrer que si $A$ possède au moins une valeur propre de multiplicité strictement supérieure à $1$ , alors $L$ est infini.
Le résultat de la question 1 reste-t-il vrai si l'on ne suppose plus $A$ diagonalisable ? On pourra considérer $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $P = X^2$ .

1.

Pour l'existence, utiliser une base de diagonalisation de $A$ et le théorème de d'Alembert-Gauss pour les coefficients.

2.

Si $A$ a des valeurs propres simples, son commutant $C(A)$ est l'ensemble des polynômes en $A$ . Les sous-espaces propres de $A$ sont alors stables par $M$ .

3.

Pour le cas infini, penser aux matrices de passage ou aux réflexions si $A=I$ .

4.

Pour le contre-exemple, étudier l'indice de nilpotence d'une éventuelle solution.

Idées clés

•

Diagonalisation simultanée de matrices qui commutent.

•

Propriété de surjectivité des polynômes non constants sur $\mathbb{C}$ .

•

Structure du commutant d'un endomorphisme à spectre simple.

Résolution.

Puisque $A$ est diagonalisable, il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que $A = S \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) S^{-1}$ . Comme $P \in \mathbb{C}[X]$ est non constant, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , l'équation $P(z) = \lambda_i$ admet au moins une solution $\mu_i \in \mathbb{C}$ par le théorème de d'Alembert-Gauss. Posons $D = \text{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$ et $M = S D S^{-1}$ . Par morphisme d'algèbres, on a : $P(M) = S P(D) S^{-1} = S \text{diag}(P(\mu_1), \dots, P(\mu_n)) S^{-1}$ D'où $P(M) = S \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) S^{-1} = A$ . L'ensemble $L$ est donc non vide. $\boxed{L \neq \emptyset}$
1. Soit $M \in L$ . On a $P(M) = A$ . Or $M$ commute évidemment avec tout polynôme en $M$ , donc $M P(M) = P(M) M$ . Ceci implique $\boxed{MA = AM}$ . Soit $(\lambda_i)_{1 \le i \le n}$ les valeurs propres distinctes de $A$ et $(e_i)_{1 \le i \le n}$ une base de vecteurs propres associée. Puisque $M$ et $A$ commutent, $M$ stabilise chaque sous-espace propre de $A$ . Or, par hypothèse, chaque sous-espace propre $E_{\lambda_i}(A)$ est une droite vectorielle $\text{Vect}(e_i)$ . Ainsi, pour chaque $i$ , $M e_i$ est colinéaire à $e_i$ , ce qui signifie que $e_i$ est aussi un vecteur propre de $M$ . Conclusion : $M$ est diagonalisable dans la même base que $A$ .
2. D'après ce qui précède, toute solution $M$ est de la forme $M = S \text{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n) S^{-1}$ où $S$ est fixée (base de diagonalisation de $A$ ) et $P(\mu_i) = \lambda_i$ . Pour chaque $\lambda_i$ , il y a au plus $d = \deg(P)$ choix possibles pour $\mu_i$ (nombre de racines du polynôme $P(X) - \lambda_i$ ). Comme il y a $n$ positions diagonales indépendantes, le nombre total de solutions est majoré par le produit des nombres de choix. $\boxed{\text{card}(L) \le (\deg P)^n}$
1. Si $P = X^2$ et que les $\lambda_i$ sont distincts et non nuls, chaque équation $\mu_i^2 = \lambda_i$ possède exactement 2 solutions distinctes dans $\mathbb{C}$ . Le raisonnement de la question 2(b) s'applique et donne exactement $2^n$ combinaisons possibles de matrices diagonales. $\boxed{\text{card}(L) = 2^n}$
2. Supposons que $\lambda$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $m \ge 2$ . Quitte à conjuguer, on peut supposer que $A$ contient le bloc $\lambda I_m$ . Si $\lambda \neq 0$ , choisissons $\mu$ tel que $\mu^2 = \lambda$ . Les matrices du type $M = \mu \Omega$ où $\Omega^2 = I_m$ sont solutions pour ce bloc. Or, pour $m \ge 2$ , il existe une infinité de matrices $\Omega$ telles que $\Omega^2 = I_m$ (par exemple, toutes les symétries par rapport à des hyperplans distincts). Si $\lambda = 0$ , le bloc est nul. Les matrices $M$ telles que $M^2 = 0$ (nilpotentes d'indice 2) sont solutions. Il en existe une infinité dès que la dimension du bloc est $\ge 2$ (par exemple via les matrices $S \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix} S^{-1}$ ). $\boxed{L \text{ est infini}}$
Considérons $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $P = X^2$ . Si $M^2 = A$ , alors $M^4 = A^2 = 0$ . $M$ est donc une matrice nilpotente dans un espace de dimension $2$ . Son indice de nilpotence est donc au plus $2$ . Ceci implique $M^2 = 0$ . Or on a supposé $M^2 = A$ , donc $A = 0$ , ce qui est faux. Conclusion : L'équation $M^2 = A$ n'a pas de solution ici. L'existence n'est plus garantie si $A$ n'est pas diagonalisable.

L'erreur classique est de dire que $M$ est forcément un polynôme en $A$ . C'est vrai si $A$ a $n$ valeurs propres distinctes, mais faux en général. Toutefois, $M$ commute toujours avec $A$ , ce qui est l'outil fondamental ici.