Existence d'une solution à une équation polynomiale

On considère l'équation matricielle suivante :

A^3 - A^2 = I_n

où

I_n

désigne la matrice identité de

\mathcal{M}_n(\mathbb{R})

.

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ pour lesquels il existe au moins une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant cette relation.

1.

Introduire le polynôme $P(X) = X^3 - X^2 - 1$ et étudier ses variations sur $\mathbb{R}$ .

2.

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier l'existence d'une racine réelle pour $P$ .

3.

Tester des matrices de forme simple, comme les matrices scalaires, pour répondre à la question d'existence.

Idées clés

•

Analyse des racines d'un polynôme annulateur.

•

Application du théorème des valeurs intermédiaires (TVI).

•

Construction de solutions par des matrices scalaires.

Résolution.

Soit $n \in \mathbb{N}$ . On cherche à savoir s'il existe une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $P(A) = 0$ , où l'on a posé :

P(X) = X^3 - X^2 - 1

1. Étude du polynôme $P$ sur $\mathbb{R$ $R$ .}

Le polynôme $P$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ . Calculons sa dérivée :

\forall x \in \mathbb{R},   P'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2)

Les points critiques de $P$ sont $0$ et $2/3$ . Étudions les valeurs de $P$ en ces points :

$P(0) = -1$
$P(2/3) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} - 1 = \frac{8 - 12 - 27}{27} = -\frac{31}{27}$

On observe que $P(0) < 0$ et $P(2/3) < 0$ . De plus, la limite de $P(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est $+\infty$ .

Comme la fonction $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $\alpha$ tel que :

\boxed{ P(\alpha) = 0 }

On peut même préciser, puisque $P(1) = -1$ et $P(2) = 8 - 4 - 1 = 3$ , que cette racine réelle $\alpha$ appartient à l'intervalle $]1, 2[$ .

2. Construction d'une solution pour $n \ge 1$ .

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Considérons la matrice scalaire $A = \alpha I_n$ . Cette matrice appartient bien à $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ car $\alpha$ est un nombre réel.

Calculons alors le polynôme $P$ appliqué à $A$ :

P(A) = A^3 - A^2 - I_n = (\alpha I_n)^3 - (\alpha I_n)^2 - I_n

Par propriété des matrices scalaires, on obtient :

P(A) = (\alpha^3 - \alpha^2 - 1) I_n

Or, par définition de $\alpha$ , nous savons que $\alpha^3 - \alpha^2 - 1 = 0$ . Par conséquent :

\boxed{ P(A) = 0 \cdot I_n = 0_n }

Ainsi, pour tout $n \ge 1$ , il existe bien une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant l'équation.

3. Cas particulier $n = 0$ .

Par convention, dans l'espace vectoriel de dimension nulle $\{0\}$ , l'unique application linéaire est l'application nulle, et sa matrice associée est la matrice vide. Toutes les relations algébriques y sont trivialement vérifiées. Si l'on s'en tient aux entiers naturels strictement positifs, le raisonnement précédent suffit.

Conclusion.

L'existence d'une racine réelle pour le polynôme $P$ garantit que l'équation possède une solution pour tout entier $n$ .

\boxed{ n \in \mathbb{N} }

L'erreur classique consiste à penser que l'existence d'une telle matrice impose une contrainte sur la parité de $n$ . C'est le cas pour des équations comme $A^2 + I_n = 0$ (car le polynôme $X^2+1$ n'a aucune racine réelle), mais ici le degré impair du polynôme garantit l'existence d'une racine réelle.