Fibres et image d'une application polynomiale

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. On considère un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ et on définit l'application suivante sur l'espace des matrices carrées :

f : \begin{cases} \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) A \mapsto P(A)^2 \end{cases}

Établir que l'application $f$ n'est pas surjective.
Prouver qu'il existe une matrice $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que l'ensemble $f^{-1}(\{N\})$ soit infini.
Démontrer l'existence d'une partie $E$ dense dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que, pour tout élément $M \in E$ , le cardinal de la fibre $f^{-1}(\{M\})$ soit fini et constant.

1.

Pour la non-surjectivité, on pourra poser $Q = P^2$ et remarquer que pour toute racine $\lambda$ de $P$ , on a $Q'(\lambda) = 0$ . Étudier alors si une matrice nilpotente d'indice $n$ peut être dans l'image.

2.

Pour la fibre infinie, considérer le cas où $N$ est une matrice scalaire associée à une racine de $P$ .

3.

Pour la densité, utiliser les matrices à valeurs propres distinctes et les propriétés des polynômes à racines simples.

Idées clés

•

Lien entre les valeurs propres de $A$ et celles de $Q(A)$ .

•

Utilisation du rang et de la nilpotence pour la non-surjectivité.

•

Densité des matrices à valeurs propres distinctes (matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ à discriminant non nul).

Résolution.

Posons $Q = P^2$ . Notons que pour toute racine $\lambda$ de $P$ dans $\mathbb{C}$ , on a : $Q'(\lambda) = 2 P(\lambda) P'(\lambda) = 0$ Supposons par l'absurde que $f$ soit surjective. Soit $M$ une matrice nilpotente dont l'indice de nilpotence est exactement $n$ (par exemple un bloc élémentaire avec des 1 sur la sur-diagonale). Il existerait $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $Q(A) = M$ . Comme $M$ est nilpotente, sa seule valeur propre est $0$ . D'après le théorème de l'application spectrale, les valeurs propres de $M$ sont les $\{Q(\lambda) \mid \lambda \in \text{Sp}(A)\}$ . Ainsi, pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$ , $Q(\lambda) = 0$ , ce qui implique $P(\lambda) = 0$ . Comme vu précédemment, cela entraîne $Q'(\lambda) = 0$ . Le polynôme $Q$ est donc divisible par $(X-\lambda)^2$ . On peut alors écrire $Q(X) = (X-\lambda)^2 R(X)$ pour un certain polynôme $R$ . Par conséquent, $M = Q(A) = (A-\lambda I_n)^2 R(A)$ . Comme $R(A)$ et $(A-\lambda I_n)$ commutent, on en déduit : $\text{rg}(M) \le \text{rg}((A-\lambda I_n)^2)$ Or, $A-\lambda I_n$ est nilpotente (car sa seule valeur propre est 0). Pour toute matrice nilpotente $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , on sait que $\text{rg}(N^2) \le n-2$ dès que $n \ge 2$ . En effet, si $N$ est nilpotente, $\dim \text{Ker}(N) \ge 1$ et $\dim \text{Ker}(N^2) \ge \min(n, 2 \dim \text{Ker}(N))$ . Dans tous les cas, pour une matrice dont l'indice est $n$ , on a $\text{rg}(M) = n-1$ . On aboutit à la contradiction $n-1 \le n-2$ . $\boxed{f \text{ n'est pas surjective.}}$
Si $P$ est un polynôme constant, $f$ est constante et l'image est un singleton $\{N\}$ . La fibre $f^{-1}(\{N\})$ est alors $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , qui est infinie. Supposons $P$ non constant. Soit $\lambda$ une racine de $P$ . On a $Q(\lambda) = 0$ et $Q'(\lambda) = 0$ . Considérons $N = 0$ . Nous cherchons $A$ telle que $Q(A) = 0$ . Comme $Q(X) = (X-\lambda)^2 R(X)$ , toute matrice $A$ vérifiant $(A-\lambda I_n)^2 = 0$ convient. L'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que $(A-\lambda I_n)^2 = 0$ contient toutes les matrices de la forme : $A = \lambda I_n + S \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots 0 & 0 & 0 & \dots \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} S^{-1}, S \in GL_n(\mathbb{C})$ Cet ensemble est infini pour $n \ge 2$ . $\boxed{\exists N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \text{ card}(f^{-1}(\{N\})) = +\infty}$
Soit $d = \deg(Q) = 2 \deg(P)$ $d = de g (Q) = 2 de g (P)$ . On suppose $P$ $P$ non constant (sinon le résultat est trivial). Considérons l'ensemble $E$ $E$ des matrices $M$ $M$ ayant $n$ $n$ valeurs propres distinctes $\mu_1, \dots, \mu_n$ $μ_{1}, \dots, μ_{n}$ telles que :
1. Pour tout $i$ , $\mu_i$ n'est pas une valeur critique de $Q$ (i.e., $Q(x) = \mu_i$ possède $d$ racines distinctes).
2. Ces $n \times d$ racines sont toutes distinctes.
L'ensemble des matrices à valeurs propres distinctes est dense dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ $M_{n} (C)$ (le discriminant du polynôme caractéristique est non nul). Les conditions supplémentaires excluent un nombre fini de valeurs pour les $\mu_i$ $μ_{i}$ , ce qui préserve la densité. Soit $M \in E$ $M \in E$ . Comme $M$ $M$ a des valeurs propres distinctes, toute matrice $A$ $A$ telle que $Q(A) = M$ $Q (A) = M$ commute avec $M$ $M$ . Ainsi, $A$ $A$ est diagonalisable dans la même base de vecteurs propres que $M$ $M$ . Soit $(e_1, \dots, e_n)$ $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de vecteurs propres de $M$ $M$ associée aux valeurs propres $(\mu_1, \dots, \mu_n)$ $(μ_{1}, \dots, μ_{n})$ . Une matrice $A$ $A$ vérifie $Q(A) = M$ $Q (A) = M$ si et seulement si elle est diagonale dans cette base, $A = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ $A = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ , avec :
$\forall i \in \{1, \dots, n\}, Q(\lambda_i) = \mu_i$
Pour chaque $i$ $i$ , il y a exactement $d$ $d$ choix possibles pour $\lambda_i$ $λ_{i}$ par définition de $E$ $E$ . Le nombre total de matrices $A$ $A$ est donc $d^n$ $d^{n}$ .
$\boxed{\text{Pour } M \in E, \text{ card}(f^{-1}(\{M\})) = (2\deg P)^n}$

Attention à ne pas oublier que si $Q(A)=M$ , $A$ n'est pas nécessairement un polynôme en $M$ si $M$ possède des valeurs propres multiples. C'est pour cela que la densité se restreint aux matrices à spectre simple.