Noyaux stationnaires et racines matricielles

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice non inversible. On note $m$ la multiplicité de $0$ en tant que racine du polynôme caractéristique $\chi_{A}$ .

Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

$\ker A = \ker A^{2}$ .
Il existe une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ telle que $M^{m} = A$ .
Pour tout entier $k \geq 1$ , il existe une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ telle que $M^{k} = A$ .

1.

Pour (iii) $\implies$ (ii), il suffit de considérer une valeur particulière de $k$ .

2.

Pour (ii) $\implies$ (i), relier la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$ à celle dans $\chi_M$ , puis utiliser la stabilisation de la suite des noyaux itérés d'une matrice.

3.

Pour (i) $\implies$ (iii), utiliser la décomposition de l'espace en somme directe du noyau et de l'image de $A$ (lemme des noyaux ou lemme de stabilisation) pour se ramener à l'existence de racines pour une matrice inversible sur $\mathbb{C}$ .

Idées clés

•

Étude de la suite des noyaux itérés $\ker(M^j)$ .

•

Décomposition de Dunford ou utilisation des séries entières pour l'existence de racines de matrices inversibles.

•

Lemme de décomposition : si $\ker A = \ker A^2$ , alors $\mathbb{C}^n = \ker A \oplus \text{im} A$ .

Résolution.

L'implication (iii) $\implies$ (ii) est immédiate en choisissant $k = m$ .
Montrons (ii) $\implies$ (i). Supposons qu'il existe $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ telle que $M^m = A$ . Soient $\mu_1, \dots, \mu_n$ les valeurs propres de $M$ comptées avec multiplicité. Les valeurs propres de $A$ sont alors $\mu_1^m, \dots, \mu_n^m$ . Comme $0$ est racine de $\chi_A$ avec la multiplicité $m$ , exactement $m$ de ces puissances sont nulles. $\mu_i^m = 0 \iff \mu_i = 0$ Ainsi, $0$ est valeur propre de $M$ avec la même multiplicité $m$ . D'après le cours sur la réduction, la suite des noyaux $\left(\ker M^j\right)_{j \in \mathbb{N}}$ est croissante et stationne au plus tard à l'indice égal à la multiplicité de la valeur propre $0$ , c'est-à-dire $m$ . On a donc : $\ker M^m = \ker M^{m+1} = \dots = \ker M^{2m}$ En utilisant l'hypothèse $M^m = A$ , on en déduit : $\ker A = \ker M^m \text{et} \ker A^2 = \ker M^{2m}$ Par stationnarité, on conclut : $\boxed{\ker A = \ker A^2}$
Montrons (i) $\implies$ (iii). Supposons $\ker A = \ker A^2$ $ker A = ker A^{2}$ . Par le lemme de stabilisation des noyaux (ou en appliquant le théorème du rang à $A_{|\text{im} A}$ $A_{∣ im A}$ ), on dispose de la décomposition en somme directe :
$\mathbb{C}^n = \ker A \oplus \text{im} A$
De plus, $\dim \ker A = m$ $dim ker A = m$ car la condition $\ker A = \ker A^2$ $ker A = ker A^{2}$ assure que $0$ $0$ est une racine simple du polynôme minimal, donc le sous-espace caractéristique associé à $0$ $0$ est exactement $\ker A$ $ker A$ . Dans une base adaptée à cette décomposition, la matrice de l'endomorphisme associé à $A$ $A$ s'écrit par blocs :
$A' = \begin{pmatrix} 0_m & 0 0 & B \end{pmatrix}$
où $0_m$ $0_{m}$ est la matrice nulle d'ordre $m$ $m$ et $B \in GL_{n-m}(\mathbb{C})$ $B \in G L_{n - m} (C)$ est une matrice inversible. Soit $k \geq 1$ $k \geq 1$ . Nous cherchons $M$ $M$ sous la forme $M' = \begin{pmatrix} N & 0 0 & R \end{pmatrix}$ $M^{'} = (N 0 0 R)$ telle que $(M')^k = A'$ $(M^{'})^{k} = A^{'}$ . Il suffit de trouver $N \in \mathcal{M}_m(\mathbb{C})$ $N \in M_{m} (C)$ telle que $N^k = 0_m$ $N^{k} = 0_{m}$ et $R \in \mathcal{M}_{n-m}(\mathbb{C})$ $R \in M_{n - m} (C)$ telle que $R^k = B$ $R^{k} = B$ .
- Pour $N$ , la matrice nulle $N = 0_m$ convient pour tout $k \geq 1$ .
- Pour $R$ , montrons que toute matrice de $GL_p(\mathbb{C})$ admet une racine $k$ -ième. $B$ est trigonalisable : $B = P(D+U)P^{-1} = PD(I + D^{-1}U)P^{-1}$ , où $D$ est diagonale inversible et $U$ est strictement triangulaire supérieure. Posons $T = I + N'$ avec $N' = D^{-1}U$ nilpotente. On peut définir une racine $k$ -ième de $I+N'$ par la série binomiale (finie car $N'$ est nilpotente) : $S = \sum_{j=0}^{n-1} \binom{1/k}{j} (N')^j$ Comme $D$ est diagonale à coefficients dans $\mathbb{C}^*$ , elle admet une racine $k$ -ième diagonale $D_0$ . Alors $R = P D_0 S P^{-1}$ convient.
L'existence de $R$ $R$ et $N$ $N$ permet de construire $M$ $M$ pour tout $k \geq 1$ $k \geq 1$ .
$\boxed{\forall k \geq 1, \exists M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), M^k = A}$

L'implication (ii) $\implies$ (i) repose crucialement sur le fait que l'indice de stabilisation de la suite des noyaux $\ker M^j$ est inférieur ou égal à la multiplicité de $0$ dans le polynôme caractéristique. Il ne faut pas confondre la multiplicité de $0$ dans $\chi_M$ et celle dans le polynôme minimal.