Développement asymptotique de la somme des (ln k)/k

Résolution.

1. Soit la fonction $f$ définie sur $[1, +\infty[$ par $f(t) = \frac{\ln t}{t}$. Cette fonction est de classe $\mathcal{C}^\infty$. Sa dérivée est donnée par :
   $$f'(t) = \frac{1 - \ln t}{t^2}$$
   On observe que $f'(t) \leq 0$ dès que $\ln t \geq 1$, c'est-à-dire pour $t \geq e$. La fonction $f$ est donc décroissante sur $[e, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale pour une fonction décroissante et positive, on sait que :
   $$u_n \sim \int_1^n \frac{\ln t}{t}   \mathrm{d}t$$
   Calculons cette intégrale par un changement de variable ou par reconnaissance immédiate d'une primitive :
   $$\int_1^n \frac{\ln t}{t}   \mathrm{d}t = \left[ \frac{1}{2} (\ln t)^2 \right]_1^n = \frac{1}{2} (\ln n)^2$$
   On en déduit l'équivalent cherché :
   $$\boxed{ u_n \sim \frac{1}{2} (\ln n)^2 }$$

2. Posons $a_n = \frac{1}{2} (\ln n)^2$ et $d_n = u_n - a_n$. D'après le cours sur la comparaison série-intégrale, pour une fonction décroissante et positive dont l'intégrale diverge, la suite des écarts entre la somme partielle et l'intégrale converge. En effet, si l'on pose $w_k = f(k) - \int_{k-1}^k f(t)   \mathrm{d}t$, on montre que la série $\sum w_k$ converge car $0 \leq w_k \leq f(k-1) - f(k)$ par décroissance. La somme partielle de cette série est liée à $d_n$ à une constante près. Ainsi, il existe un réel $\gamma_1$ tel que :
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} (u_n - \frac{1}{2} \ln^2 n) = \gamma_1 }$$

3. Pour obtenir un terme supplémentaire, étudions la vitesse de convergence de $d_n$ vers $\gamma_1$. On s'intéresse au reste $R_n = \gamma_1 - d_n$. Par télescopage des restes, on a :
   $$\gamma_1 - d_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (d_k - d_{k-1}) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \left( f(k) - \int_{k-1}^k f(t)   \mathrm{d}t \right)$$
   Étudions le terme général $v_k = f(k) - \int_{k-1}^k f(t)   \mathrm{d}t$. Par la formule de Taylor avec reste intégral (ou une approximation trapézoïdale), on a :
   $$\int_{k-1}^k (f(t) - f(k))   \mathrm{d}t \approx \int_{k-1}^k (t-k)f'(k)   \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} f'(k)$$
   Plus précisément, calculons $f''(t) = \frac{2\ln t - 3}{t^3}$. Pour $t \geq e^{3/2}$, $f''$ est positive, donc $f'$ est croissante. En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange ou en encadrant $f'$ sur $[k-1, k]$, on montre que :
   $$v_k = -\frac{1}{2} f'(k) + O(f''(k))$$
   En sommant ces relations, le terme dominant du reste $R_n$ est $-\frac{1}{2} \sum_{k=n+1}^\infty f'(k)$. Par comparaison série-intégrale pour $f'$, on a :
   $$\sum_{k=n+1}^\infty f'(k) \sim \int_n^{+\infty} f'(t)   \mathrm{d}t = [f(t)]_n^{+\infty} = -f(n)$$
   Ainsi, $R_n \sim -\frac{1}{2}(-f(n)) = \frac{\ln n}{2n}$. On peut donc écrire le développement asymptotique final :
   $$\boxed{ u_n = \frac{1}{2} \ln^2 n + \gamma_1 + \frac{\ln n}{2n} + o\left( \frac{\ln n}{n} \right) }$$