Comparaison série-intégrale

Q: Que dit le théorème de comparaison série-intégrale ?

Si f est continue par morceaux, positive et décroissante sur [1,+∞[, la série Σ f(n) et l'intégrale ∫_1^+∞f sont de même nature, et les sommes partielles (ou les restes) sont encadrées par des intégrales de f.

Q: Comment faire si la fonction est croissante ?

On inverse les inégalités : ∫_k-1^kf≤ f(k)≤∫_k^k+1f. Par exemple, avec f=ln, on obtient ∫_1^nln≤ln(n!)≤∫_2^n+1ln, d'où ln(n!)~ nln n.

La comparaison série-intégrale encadre les sommes partielles, ou les restes, d'une série $\sum f(n)$ par des intégrales de $f$ lorsque $f$ est monotone. Elle donne la nature de la série et surtout des équivalents de sommes comme $\sum_{k=1}^n\frac1k$ ou $\sum_{k>n}\frac{1}{k^2}$ .

Au programmePremière année (MPSI, MP2I), repris en deuxième année (MP, MPI, PSI) · Séries numériques

Énoncé

Théorème (comparaison série-intégrale)

Soit $f:[1,+\infty[\to\R$ continue par morceaux, positive et décroissante.

1. Encadrement. Pour tout entier $k\ge1$ , $\int_k^{k+1}f(t)\dd t\le f(k)$ et, si $k\ge2$ , $f(k)\le\int_{k-1}^kf(t)\dd t$ . Par suite, pour tout $n\ge1$ :

\int_1^{n+1}f(t)\dd t\ \le\ \sum_{k=1}^n f(k)\ \le\ f(1)+\int_1^n f(t)\dd t.

2. Nature et restes. La série $\sum f(n)$ converge si et seulement si $\int_1^{+\infty}f$ converge (c'est-à-dire si $x\mapsto\int_1^x f$ admet une limite finie en $+\infty$ ). Dans ce cas, pour tout $n\ge1$ :

\int_{n+1}^{+\infty}f(t)\dd t\ \le\ \sum_{k=n+1}^{+\infty}f(k)\ \le\ \int_n^{+\infty}f(t)\dd t.

3. Série des écarts. La série de terme général $w_n=\int_{n-1}^n f(t)\dd t-f(n)$ ( $n\ge2$ ) est à termes positifs et converge. Par conséquent, la suite $\left(\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f(t)\dd t\right)_{n\ge1}$ converge vers une limite $\ell\in[0,f(1)]$ .

Démonstration

Encadrement. Soit $k\ge1$ . Pour $t\in[k,k+1]$ , la décroissance donne $f(t)\le f(k)$ ; en intégrant sur ce segment de longueur $1$ , $\int_k^{k+1}f\le f(k)$ . De même, si $k\ge2$ , $f(t)\ge f(k)$ pour $t\in[k-1,k]$ , d'où $f(k)\le\int_{k-1}^kf$ . On somme la première inégalité pour $k=1,\dots,n$ et la seconde pour $k=2,\dots,n$ (relation de Chasles), puis on ajoute $f(1)$ à la seconde :

\int_1^{n+1}f\le\sum_{k=1}^nf(k),\qquad \sum_{k=1}^nf(k)\le f(1)+\int_1^nf.

Nature. La série est à termes positifs : elle converge si et seulement si ses sommes partielles $S_n$ sont majorées. La fonction $F:x\mapsto\int_1^xf$ est croissante car $f\ge0$ : elle admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si elle est majorée. Si $F\le M$ , alors $S_n\le f(1)+M$ pour tout $n$ . Si $S_n\le S$ pour tout $n$ , alors pour $x\ge1$ , $F(x)\le F(\lfloor x\rfloor+1)\le S_{\lfloor x\rfloor}\le S$ .

Restes. On somme les mêmes inégalités pour $k$ de $n+1$ à $N$ :

\int_{n+1}^{N+1}f\le\sum_{k=n+1}^Nf(k)\le\int_n^Nf,

puis on fait tendre $N$ vers $+\infty$ .

Série $\sum w_n$ . Pour $n\ge2$ , l'encadrement $f(n)\le\int_{n-1}^nf\le f(n-1)$ donne $0\le w_n\le f(n-1)-f(n)$ . Or $\sum_{k=2}^n(f(k-1)-f(k))=f(1)-f(n)\le f(1)$ : la série à termes positifs $\sum w_n$ a ses sommes partielles majorées par $f(1)$ , donc elle converge. Enfin

\sum_{k=1}^nf(k)-\int_1^nf=f(1)-\sum_{k=2}^nw_k\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell=f(1)-\sum_{k=2}^{+\infty}w_k\le f(1),

et $\ell\ge0$ puisque $\sum_{k=1}^nf(k)\ge\int_1^{n+1}f\ge\int_1^nf$ pour tout $n$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

Vérifier les hypothèses : positivité et monotonie de $f$ , éventuellement seulement sur $[a,+\infty[$ (on adapte alors les bornes).
Écrire l'encadrement sur $[k-1,k]$ et sur $[k,k+1]$ , puis sommer en surveillant le premier indice.
Si les deux intégrales obtenues sont équivalentes, on obtient un équivalent de la somme partielle (cas divergent) ou du reste (cas convergent).
Pour $f$ croissante, les inégalités s'inversent : $\int_{k-1}^kf\le f(k)\le\int_k^{k+1}f$ .

Exemples d'application

Série harmonique et constante d'Euler

Avec $f(t)=\frac1t$ , continue, positive et décroissante sur $[1,+\infty[$ , l'encadrement donne pour $n\ge1$ :

\ln(n+1)\le H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k\le1+\ln n.

Pour $n\ge2$ , on divise par $\ln n$ : les deux bornes tendent vers $1$ car $\ln(n+1)=\ln n+\ln\left(1+\frac1n\right)$ . Donc $H_n\sim\ln n$ . Le point 3 précise que $H_n-\ln n$ converge vers une limite $\gamma\in[0,1]$ , la constante d'Euler ( $\gamma\approx0{,}577$ ), d'où $H_n=\ln n+\gamma+o(1)$ .

Reste d'une série de Riemann

Soit $\alpha>1$ et $f(t)=\frac{1}{t^\alpha}$ . Comme $\int_n^{+\infty}\frac{\dd t}{t^\alpha}=\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}$ , on obtient

\frac{1}{(\alpha-1)(n+1)^{\alpha-1}}\le\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^\alpha}\le\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}.

Les deux bornes sont équivalentes car $(n+1)^{\alpha-1}\sim n^{\alpha-1}$ , donc $\sum_{k>n}\frac{1}{k^\alpha}\sim\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}$ . Par exemple, $\sum_{k>n}\frac1{k^2}\sim\frac1n$ .

Erreurs classiques

Oublier la monotonie : $f(t)=|\sin(\pi t)|$ est continue et positive, $\sum f(n)$ converge (tous ses termes sont nuls), mais $\int_1^{+\infty}f$ diverge.
Écrire $f(1)\le\int_0^1f$ alors que $f$ n'est définie que sur $[1,+\infty[$ , ou que l'intégrale diverge (pour $f(t)=\frac1t$ , $\int_0^1\frac{\dd t}{t}$ diverge) : c'est pourquoi on isole le premier terme.
Se tromper de sens : pour $f$ positive décroissante, $\sum_{k=1}^nf(k)\ge\int_1^{n+1}f\ge\int_1^nf$ . Écrire $\sum_{k=1}^nf(k)\le\int_1^nf$ est faux.
Confondre équivalent et différence : $H_n\sim\ln n$ n'entraîne pas $H_n-\ln n\to0$ ; la différence tend vers $\gamma\neq0$ .

Place dans le programme

Première année (MPSI, MP2I), repris en deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Séries numériques ».

La comparaison d'une série et d'une intégrale pour une fonction monotone est au programme. En pratique, on rédige l'encadrement (décroissance, intégration sur $[k,k+1]$ , sommation) plutôt que de le citer. La convergence de la série $\sum w_n$ du point 3 est un complément classique, à savoir redémontrer.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Séries numériques et familles sommables (224 sujets), Intégrales généralisées (415 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

E3A Mathématiques PC 2024 : Exercice 3 : série de terme général sin(n^α)/n
ENS Mathématiques C MP MPI 2024
Mines Mathématiques 2 PSI 2024
X ENS Mathématiques A MP MPI 2024
Centrale Mathématiques 2 PSI 2023 : Partie II : formule de Stirling
CCINP Mathématiques PSI 2021 : Problème 1, partie III : équivalent de f_α en 1 (Q20 à Q24)

Questions fréquentes

Que dit le théorème de comparaison série-intégrale ?

Si $f$ est continue par morceaux, positive et décroissante sur $[1,+\infty[$ , la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int_1^{+\infty}f$ sont de même nature, et les sommes partielles (ou les restes) sont encadrées par des intégrales de $f$ .

Comment faire si la fonction est croissante ?

On inverse les inégalités : $\int_{k-1}^kf\le f(k)\le\int_k^{k+1}f$ . Par exemple, avec $f=\ln$ , on obtient $\int_1^n\ln\le\ln(n!)\le\int_2^{n+1}\ln$ , d'où $\ln(n!)\sim n\ln n$ .

Quel lien avec la sommation des relations de comparaison ?

La sommation des relations de comparaison (deuxième année) transfère un équivalent entre termes généraux positifs aux sommes partielles (cas divergent) ou aux restes (cas convergent). La comparaison série-intégrale fournit les équivalents de référence auxquels on se ramène, comme $\ln n$ ou $\frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ pour $\alpha<1$ .

Exercices corrigés utilisant : Comparaison série-intégrale

89 exercices

Comparaison série-intégrale

Énoncé

Démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Série harmonique et constante d'Euler

Reste d'une série de Riemann

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Que dit le théorème de comparaison série-intégrale ?

Comment faire si la fonction est croissante ?

Quel lien avec la sommation des relations de comparaison ?

Exercices corrigés utilisant : Comparaison série-intégrale

Constante d'Euler et fonction zêta de Riemann

Étude locale en 1 et constante d'Euler

Équation aux différences et intégrabilité

Propriétés des fonctions zêta et êta

Propriétés analytiques et asymptotiques de Zêta

Étude d'une série de fonctions rationnelles

Étude locale d'une série de fonctions

Étude d'une série d'exponentielles généralisées

Comportement asymptotique d'un produit infini

Comportement de n*u_n pour une série convergente

Sommes de logarithmes et séries de Bertrand

Comparaisons et développements asymptotiques

Série de fonctions et comparaison intégrale

Sommation des relations de comparaison pour les puissances

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Étude d'une somme de Riemann généralisée

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Propriétés d'une série logarithmique

Équivalents d'une série de fonctions logarithmiques

Comportement asymptotique d'une série de logarithmes

Équivalents d'une série en 1/sh(nx)

Équivalents d'une série en 1/ch(nx)

Série à pas quadratique et équivalents

Irrégularité d'une série à fréquences quadratiques

Convergence de séries de fonctions rationnelles

Régularité et équivalents d'une série rationnelle

Série de fonctions et dérivabilité en zéro

Étude asymptotique de séries alternées de fonctions

Régularité et équivalent d'une série d'Arctan

Séries de Lambert et variantes

Propriétés de la fonction Zêta de Riemann

Croissance des séries de Fourier-Dirichlet

Vitesse de convergence des séries

Étude asymptotique d'une série de gaussiennes

Série de fractions rationnelles et comportement asymptotique

Inégalité de Carleman et moyennes de suites

Étude d'une série de fonctions rationnelles

Convergence uniforme et normale de séries rationnelles

Équivalent d'une somme de termes généraux de série divergente

Étude d'une série de fonctions rationnelles

Étude d'une série de logarithmes

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Série de fonctions gaussiennes et estimation

Étude asymptotique d'une série d'exponentielles

Série de l'inverse du sinus hyperbolique

Fraction rationnelle et reste de la série Zeta(2)

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Étude d'une série de fonctions et limite à la borne

Comportement asymptotique d'une série alternée

Série d'arctangentes et limite de la somme

Séries à termes positifs décroissants : condensation et série de Dini

Asymptotique d'une bijection définie par une intégrale

Propriétés de la fonction Zêta et de sa variante alternée

Convergence d'un produit et comparaison série-intégrale

Comportement asymptotique d'une série de fonctions

Série de fonctions rationnelles et équivalents

Équivalent d'une série à paramètre

Étude des modes de convergence

Comportement asymptotique d'une série de fonctions

Série associée aux sommes partielles

Comportement asymptotique d'une suite à rapport rationnel

Nature d'une série de restes normalisés

Équivalent d'une série lacunaire

Séries de moyennes et de sommes

Étude d'une série de fonctions rationnelles