Formule de Stirling

Équivalent et forme logarithmique. On pose $u_n=\ln(n!)-\left(n+\frac12\right)\ln n+n$. Un développement limité donne

La série télescopique $\sum(u_n-u_{n+1})$ converge, donc $u_n\to\ell$, et les intégrales de Wallis donnent $\ell=\ln\sqrt{2\pi}$ (démonstration détaillée dans la fiche Équivalent de Stirling). La forme logarithmique n'est autre que $u_n=\ln\sqrt{2\pi}+o(1)$.

Terme correctif. On somme les restes :

Pour $k\ge2$, l'encadrement $\frac1k-\frac1{k+1}\le\frac1{k^2}\le\frac1{k-1}-\frac1k$ donne par télescopage $\frac1n\le\sum_{k\ge n}\frac1{k^2}\le\frac1{n-1}$, donc $\sum_{k\ge n}\frac1{k^2}=\frac1n+O(\frac1{n^2})$. De même $\sum_{k\ge n}\frac1{k^3}\le\int_{n-1}^{+\infty}\frac{\dd t}{t^3}=O(\frac1{n^2})$ par comparaison avec une intégrale. Ainsi $u_n=\ln\sqrt{2\pi}+\frac1{12n}+O(\frac1{n^2})$ et, en passant à l'exponentielle, $e^{\frac1{12n}+O(1/n^2)}=1+\frac1{12n}+O(\frac1{n^2})$.

Pour un quotient de factorielles, on remplace chaque factorielle par la formule, on simplifie les puissances $n^n$ et $e^{-n}$, puis on regroupe les facteurs $\sqrt{2\pi n}$. Pour une limite du type $(\cdots)^{1/n}$ ou pour comparer des ordres de grandeur, la forme logarithmique est plus commode.

L'équivalent $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$ est au programme de deuxième année et peut être cité directement. Le terme correctif $\frac{1}{12n}$ est hors programme : il faut le redémontrer (voir l'esquisse ci-dessous) avant de l'utiliser dans une copie ou à l'oral.