Théorème des bornes atteintes

Sur un segment. Soit $M=\sup_{[a,b]}f\in\R\cup\{+\infty\}$. Par caractérisation de la borne supérieure, il existe une suite $(x_n)$ de $[a,b]$ telle que $f(x_n)\to M$ (si $M=+\infty$, on choisit $x_n$ tel que $f(x_n)\ge n$). La suite $(x_n)$ est bornée : par le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ qui converge vers un réel $d$, et $d\in[a,b]$ par passage à la limite dans $a\le x_{\varphi(n)}\le b$. Par continuité de $f$ en $d$, $f(x_{\varphi(n)})\to f(d)$. Comme $f(x_{\varphi(n)})\to M$, l'unicité de la limite donne $M=f(d)$ : $M$ est fini et atteint. En appliquant ce résultat à $-f$, on obtient le minimum.

Sur un compact. La preuve est identique en remplaçant Bolzano-Weierstrass par la définition séquentielle de la compacité : toute suite de $K$ admet une sous-suite qui converge dans $K$. On peut aussi dire que $f(K)$ est une partie compacte non vide de $\R$ (image d'un compact par une application continue), donc fermée et bornée : elle contient sa borne supérieure et sa borne inférieure.

Pour montrer qu'une quantité est atteinte (distance, norme, maximum d'une fonction de plusieurs variables), on se ramène à une fonction continue sur un compact. Si l'ensemble de départ n'est pas borné, on le restreint à un compact en montrant que la fonction est grande en dehors, comme dans l'exemple de la distance ci-dessous.

La version sur un segment est au programme de première année. La version pour une fonction réelle continue sur une partie compacte non vide d'un espace vectoriel normé est au programme de deuxième année, dans le chapitre de topologie.