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Inégalité des accroissements finis (IAF)

L'inégalité des accroissements finis (IAF) transforme une majoration de la dérivée en une majoration des accroissements : si ∣f′∣≤M|f'|\le M sur un intervalle, alors ff est MM-lipschitzienne. C'est l'outil standard pour étudier les suites récurrentes un+1=g(un)u_{n+1}=g(u_n) et pour établir des inégalités.

Au programmePremière année (MPSI, MP2I, PCSI), complétée en deuxième année (MP, MPI, PSI) · Dérivation ; fonctions vectorielles

Énoncé

Théorème (inégalité des accroissements finis)

Fonction réelle. Soit a<ba<b, f:[a,b]→Rf : [a,b]\to\R continue sur [a,b][a,b], dérivable sur ]a,b[]a,b[, et M≥0M\ge0 tel que ∣f′(t)∣≤M|f'(t)|\le M pour tout t∈ ]a,b[t\in\,]a,b[. Alors

∣f(b)−f(a)∣≤M (b−a).|f(b)-f(a)|\le M\,(b-a).

Plus généralement, si ff est dérivable sur un intervalle II avec ∣f′∣≤M|f'|\le M sur II, alors ff est MM-lipschitzienne sur II : ∣f(x)−f(y)∣≤M∣x−y∣|f(x)-f(y)|\le M|x-y| pour tous x,y∈Ix,y\in I.

Fonction vectorielle. Soit EE un espace vectoriel normé de dimension finie (par exemple E=CE=\C), II un intervalle et f:I→Ef : I\to E de classe C1\mathcal{C}^1 avec ∥f′(t)∥≤M\|f'(t)\|\le M pour tout t∈It\in I. Alors ∥f(x)−f(y)∥≤M∣x−y∣\|f(x)-f(y)\|\le M|x-y| pour tous x,y∈Ix,y\in I.

Démonstration

Cas réel. Par le théorème des accroissements finis, il existe c∈ ]a,b[c\in\,]a,b[ tel que f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)-f(a)=f'(c)(b-a), d'où ∣f(b)−f(a)∣=∣f′(c)∣ (b−a)≤M(b−a)|f(b)-f(a)|=|f'(c)|\,(b-a)\le M(b-a). Rappelons que ce théorème découle du théorème de Rolle appliqué à g(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a), qui vérifie g(a)=g(b)g(a)=g(b). Pour x<yx<y dans II, on applique ce qui précède sur [x,y][x,y].

Cas vectoriel. Pour x≤yx\le y dans II, ff étant de classe C1\mathcal{C}^1, on a f(y)−f(x)=∫xyf′(t) dtf(y)-f(x)=\int_x^y f'(t)\,\dd t, et l'inégalité triangulaire pour les intégrales donne

∥f(y)−f(x)∥≤∫xy∥f′(t)∥ dt≤M(y−x).\|f(y)-f(x)\|\le\int_x^y\|f'(t)\|\,\dd t\le M(y-x).

L'égalité des accroissements finis est fausse dans le cas vectoriel. Soit f(t)=eitf(t)=e^{it} sur [0,2π][0,2\pi]. Alors f(2π)−f(0)=0f(2\pi)-f(0)=0, alors que ∣f′(c)∣=∣i eic∣=1|f'(c)|=|i\,e^{ic}|=1 pour tout cc : aucun cc ne vérifie f(2π)−f(0)=2πf′(c)f(2\pi)-f(0)=2\pi f'(c). Seule l'inégalité subsiste.

Méthode : quand et comment l'utiliser

Suites récurrentes un+1=g(un)u_{n+1}=g(u_n). On cherche un intervalle II stable par gg (g(I)⊂Ig(I)\subset I), contenant u0u_0 et un point fixe ℓ\ell de gg, sur lequel ∣g′∣≤k|g'|\le k avec k<1k<1 (gg est alors contractante sur II). Pour tout nn, un∈Iu_n\in I et

∣un+1−ℓ∣=∣g(un)−g(ℓ)∣≤k ∣un−ℓ∣,donc∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣→n→+∞0.|u_{n+1}-\ell|=|g(u_n)-g(\ell)|\le k\,|u_n-\ell|,\qquad\text{donc}\qquad|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell|\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.

La convergence est géométrique, ce qui fournit en plus une estimation explicite de l'erreur.

Exemples d'application

La suite un+1=cos⁡unu_{n+1}=\cos u_n

Soit u0∈[0,1]u_0\in[0,1] et un+1=cos⁡unu_{n+1}=\cos u_n. Comme cos⁡([0,1])=[cos⁡1,1]⊂[0,1]\cos([0,1])=[\cos1,1]\subset[0,1], l'intervalle [0,1][0,1] est stable. La fonction h(x)=cos⁡x−xh(x)=\cos x-x est continue et strictement décroissante sur [0,1][0,1], avec h(0)=1>0h(0)=1>0 et h(1)=cos⁡1−1<0h(1)=\cos1-1<0 : il existe un unique ℓ∈ ]0,1[\ell\in\,]0,1[ tel que cos⁡ℓ=ℓ\cos\ell=\ell. Sur [0,1][0,1], ∣cos⁡′∣=∣sin⁡∣≤sin⁡1<1|\cos'|=|\sin|\le\sin1<1. L'IAF donne ∣un+1−ℓ∣≤sin⁡1⋅∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|\le\sin1\cdot|u_n-\ell|, d'où

∣un−ℓ∣≤(sin⁡1)n ∣u0−ℓ∣≤(sin⁡1)n→n→+∞0.|u_n-\ell|\le(\sin 1)^n\,|u_0-\ell|\le(\sin1)^n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.

Une inégalité avec l'exponentielle complexe

La fonction f:t↦eitf : t\mapsto e^{it} est de classe C1\mathcal{C}^1 de R\R dans C\C, avec ∣f′(t)∣=1|f'(t)|=1. L'IAF vectorielle donne, pour tous réels xx et yy,

∣eix−eiy∣≤∣x−y∣,|e^{ix}-e^{iy}|\le|x-y|,

et l'IAF réelle donne de même ∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣|\sin x-\sin y|\le|x-y| et ∣cos⁡x−cos⁡y∣≤∣x−y∣|\cos x-\cos y|\le|x-y|.

Erreurs classiques

  • Écrire f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) pour une fonction à valeurs complexes ou vectorielles : c'est faux (contre-exemple t↦eitt\mapsto e^{it} sur [0,2π][0,2\pi]). Seule l'inégalité est valable.

  • Se contenter de ∣g′(x)∣<1|g'(x)|<1 en chaque point au lieu d'une borne uniforme k<1k<1. Pour g(x)=x+1xg(x)=x+\frac1x sur [1,+∞[[1,+\infty[, on a 0≤g′(x)<10\le g'(x)<1 et g([1,+∞[)⊂[1,+∞[g([1,+\infty[)\subset[1,+\infty[, mais gg n'a pas de point fixe et la suite récurrente tend vers +∞+\infty.

  • Oublier de vérifier que l'intervalle est stable par gg : la majoration ∣g′∣≤k|g'|\le k ne s'applique aux unu_n que si tous les termes restent dans l'intervalle où elle est établie.

  • Utiliser une majoration de ∣f′∣|f'| valable seulement sur une partie de l'intervalle : MM doit majorer ∣f′∣|f'| sur tout le segment qui joint les deux points.

Place dans le programme

Première année (MPSI, MP2I, PCSI), complétée en deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Dérivation ; fonctions vectorielles ».

La version réelle, conséquence du théorème des accroissements finis, est au programme de première année. La version pour une fonction de classe C1\mathcal{C}^1 à valeurs complexes ou vectorielles se démontre par l'intégrale ; on la rencontre avec l'intégration (valeurs complexes) puis dans le chapitre de deuxième année sur les fonctions vectorielles.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Limites, continuité, dérivabilité et intégration (786 sujets), Calcul différentiel et fonctions de plusieurs variables (284 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Que signifie IAF en maths ?

IAF est l'abréviation d'inégalité des accroissements finis : si ∣f′∣≤M|f'|\le M sur un intervalle II, alors ∣f(x)−f(y)∣≤M∣x−y∣|f(x)-f(y)|\le M|x-y| pour tous x,y∈Ix,y\in I.

Quelle différence entre TAF et IAF ?

Le théorème des accroissements finis (TAF) est une égalité, f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)-f(a)=f'(c)(b-a), valable pour les fonctions réelles. L'IAF est l'inégalité qui s'en déduit ; elle reste vraie pour les fonctions à valeurs complexes ou vectorielles, contrairement au TAF.

Comment utiliser l'IAF pour une suite récurrente ?

On trouve un intervalle stable contenant la limite ℓ\ell sur lequel ∣g′∣≤k<1|g'|\le k<1 ; l'IAF donne ∣un+1−ℓ∣≤k∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|\le k|u_n-\ell|, puis ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell|.

Exercices corrigés utilisant : Inégalité des accroissements finis (IAF)

1 exercice

Approximation du sinus par itération

Étude de la convergence ponctuelle
sinustriplicationconvergence uniformeIAFRécurrence