Formule de Taylor avec reste intégral

On note $T_n(x)$ la somme (polynôme de Taylor) et $R_n(x)=\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\dd t$. On raisonne par récurrence sur $n$, la propriété $\mathcal{P}(n)$ étant : « pour toute $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$ et tous $a,x\in I$, $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$ ».

Initialisation. Pour $n=0$, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et le théorème fondamental de l'analyse donne $f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)\,\dd t$.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ et soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+2}$. Elle est a fortiori de classe $\mathcal{C}^{n+1}$, donc $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$. On intègre $R_n(x)$ par parties avec

Donc $f(x)=T_{n+1}(x)+R_{n+1}(x)$, c'est-à-dire $\mathcal{P}(n+1)$.

Inégalité de Taylor-Lagrange. Pour $t$ entre $a$ et $x$, $|x-t|^n\,|f^{(n+1)}(t)|\le M_{n+1}|x-t|^n$. Que l'on ait $x\ge a$ ou $x<a$,

On utilise la formule avec reste intégral lorsqu'on veut un contrôle global de l'erreur (pour $x$ fixé loin de $a$, ou pour tout $n$), et non un simple développement limité au voisinage d'un point.

• Pour montrer qu'une fonction est somme de sa série de Taylor, on montre que $R_n(x)\to0$, souvent par l'inégalité de Taylor-Lagrange.
• Pour une inégalité, on exploite le signe de l'intégrande : si $f^{(n+1)}\ge0$ et $x\ge a$, alors $R_n(x)\ge0$, donc $f(x)\ge T_n(x)$.

La formule avec reste intégral et l'inégalité de Taylor-Lagrange font partie du cours de première année, avec leur démonstration. Elles servent constamment en deuxième année pour les séries entières (développements de $e^x$, de $\ln(1+x)$, etc.).