IPP en maths : formule d'intégration par parties

Q: Quelle est la formule de l'IPP ?

Pour u et v de classe C^1 sur [a,b] : ∫_a^b u'v=[uv]_a^b-∫_a^b uv'. Elle découle de la dérivée d'un produit, (uv)'=u'v+uv'.

Q: Qu'est-ce qu'une double IPP ?

C'est l'enchaînement de deux intégrations par parties. On l'utilise quand la seconde fait réapparaître l'intégrale de départ, comme pour ∫ e^tsin t d t, ou pour abaisser deux fois le degré d'un polynôme multiplié par une exponentielle.

Q: Peut-on faire une IPP sur une intégrale généralisée ?

Oui, si u et v sont de classe C^1 sur l'intervalle ouvert et si uv a des limites finies aux bornes : les deux intégrales sont alors de même nature. Sinon, on fait l'IPP sur un segment [x,y] et on étudie la limite.

L'intégration par parties (IPP) transforme l'intégrale d'un produit $u'v$ en celle de $uv'$ , au prix d'un terme tout intégré. Elle sert à calculer des intégrales, à établir des relations de récurrence et à étudier la convergence ou le comportement asymptotique d'intégrales généralisées.

Au programmePremière année (MPSI, MP2I, PCSI), puis deuxième année (MP, MPI, PSI) · Intégration sur un segment ; intégrales généralisées

Énoncé

Théorème (intégration par parties)

Sur un segment. Soit $u, v : [a,b]\to\K$ de classe $\mathcal{C}^1$ , avec $\K=\R$ ou $\C$ . Alors

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \big[u(t)\,v(t)\big]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t.

Sur un intervalle quelconque (deuxième année). Soit $-\infty\le a<b\le+\infty$ et $u, v : \,]a,b[\,\to\K$ de classe $\mathcal{C}^1$ . On suppose que le produit $uv$ admet une limite finie en $a$ et en $b$ , et on note $[uv]_a^b=\lim_{b}uv-\lim_{a}uv$ . Alors les intégrales $\int_a^b u'v$ et $\int_a^b uv'$ sont de même nature et, en cas de convergence,

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t.

Même énoncé sur $[a,b[$ ou $]a,b]$ , la limite n'étant alors demandée qu'à la borne ouverte.

Démonstration

Sur un segment. Le produit $uv$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ et $(uv)'=u'v+uv'$ est continue. Par le théorème fondamental de l'analyse,

\int_a^b \big(u'v+uv'\big)(t)\,\dd t = u(b)v(b)-u(a)v(a).

Les fonctions $u'v$ et $uv'$ étant continues sur le segment, leurs intégrales existent et la linéarité de l'intégrale donne la formule.

Sur $]a,b[$ . Fixons $c\in\,]a,b[$ . Pour $y\in[c,b[$ , la formule sur le segment $[c,y]$ donne

\int_c^y u'v = u(y)v(y)-u(c)v(c)-\int_c^y uv'.

Comme $u(y)v(y)$ admet une limite finie quand $y\to b$ , la fonction $y\mapsto\int_c^y u'v$ a une limite finie en $b$ si et seulement si $y\mapsto\int_c^y uv'$ en a une : les intégrales $\int_c^b u'v$ et $\int_c^b uv'$ sont de même nature. Le même raisonnement sur $[x,c]$ , avec $x\to a$ , traite la borne $a$ . En cas de convergence, on fait tendre $x$ vers $a$ et $y$ vers $b$ dans la formule écrite sur $[x,y]$ , ce qui donne l'égalité annoncée.

Méthode : quand et comment l'utiliser

Choix de $u'$ et de $v$ : on dérive ce qui se simplifie en dérivant ( $\ln$ , $\arctan$ , polynômes) et on primitive ce qui se primitive sans difficulté (exponentielles, $\sin$ , $\cos$ , puissances).
Relation de récurrence : pour une suite d'intégrales $I_n$ , une IPP exprime souvent $I_n$ en fonction de $I_{n-1}$ ou de $I_{n-2}$ (intégrales de Wallis, fonction Gamma).
Double IPP : deux IPP successives font réapparaître l'intégrale de départ, d'où une équation dont elle est solution (produits $e^{\alpha t}\cos(\beta t)$ ).
Intégrale généralisée : si le crochet diverge, on travaille sur un segment $[x,y]$ puis on passe à la limite, ou on change la constante d'intégration de la primitive choisie.

Exemples d'application

Double IPP : $\int_0^{\pi} e^t\sin t\,\dd t$

Notons $I=\int_0^{\pi}e^t\sin t\,\dd t$ et $J=\int_0^{\pi}e^t\cos t\,\dd t$ . Une IPP avec $u'(t)=e^t$ et $v(t)=\sin t$ donne

I=\big[e^t\sin t\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}e^t\cos t\,\dd t = -J.

Une seconde IPP avec $u'(t)=e^t$ et $v(t)=\cos t$ donne

J=\big[e^t\cos t\big]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}e^t\sin t\,\dd t = -e^{\pi}-1+I.

Donc $I=e^{\pi}+1-I$ , soit $I=\dfrac{e^{\pi}+1}{2}$ .

IPP généralisée : $\int_0^{+\infty}t^n e^{-t}\,\dd t=n!$

Soit $I_n=\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,\dd t$ . On a $I_0=1$ . Pour $n\ge1$ , on pose $u(t)=t^n$ et $v(t)=-e^{-t}$ , de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,+\infty[$ . Le produit $u(t)v(t)=-t^ne^{-t}$ est nul en $0$ et tend vers $0$ en $+\infty$ par croissances comparées. Les intégrales $\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,\dd t$ et $\int_0^{+\infty}n\,t^{n-1}e^{-t}\,\dd t$ sont donc de même nature et, si $I_{n-1}$ converge,

I_n = \big[-t^n e^{-t}\big]_0^{+\infty}+n\int_0^{+\infty}t^{n-1}e^{-t}\,\dd t = n\,I_{n-1}.

Par récurrence, toutes les intégrales $I_n$ convergent et $I_n=n!$ .

Erreurs classiques

Écrire directement la formule sur un intervalle non borné ou ouvert sans vérifier que le crochet a une limite finie : on obtient alors une différence de termes infinis, ou l'on conclut à tort à la convergence.
Garder une mauvaise constante d'intégration. Pour $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,\dd t$ , le choix $v(t)=-\cos t$ fait diverger le crochet $-\frac{\cos t}{t}$ en $0$ ; avec $v(t)=1-\cos t$ , le crochet $\frac{1-\cos t}{t}$ tend vers $0$ en $0$ et en $+\infty$ , et l'on se ramène à $\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos t}{t^2}\,\dd t$ , qui converge absolument.
Appliquer la formule sur un segment à des fonctions qui n'y sont pas de classe $\mathcal{C}^1$ , par exemple $u(t)=\sqrt t$ sur $[0,1]$ : $u'$ n'est pas définie en $0$ et il faut utiliser la version généralisée sur $]0,1]$ .
Se tromper de signe : on retient $\int u'v=[uv]-\int uv'$ , le signe moins portant sur l'intégrale où la dérivation a changé de facteur.

Place dans le programme

Première année (MPSI, MP2I, PCSI), puis deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Intégration sur un segment ; intégrales généralisées ».

La formule sur un segment est un résultat central de première année. La version pour une intégrale généralisée, avec la condition d'existence des limites du crochet, fait partie du chapitre de deuxième année sur l'intégration sur un intervalle quelconque.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Limites, continuité, dérivabilité et intégration (786 sujets), Intégrales généralisées (415 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Centrale Mathématiques 2 PSI 2024 : Partie VI : valeur approchée de la constante
E3A Mathématiques PC 2024 : Exercice 3 : série de terme général sin(n^α)/n
ENS Mathématiques D MP MPI 2024
Mines Mathématiques 1 MP MPI 2024 : Partie III : calcul d'une intégrale de Dirichlet généralisée
Centrale Mathématiques 2 MP MPI 2023
E3A Mathématiques PSI 2023 : Exercice 4 : intégrale à paramètre et intégrales de Fresnel

Questions fréquentes

Quelle est la formule de l'IPP ?

Pour $u$ et $v$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ : $\int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$ . Elle découle de la dérivée d'un produit, $(uv)'=u'v+uv'$ .

Qu'est-ce qu'une double IPP ?

C'est l'enchaînement de deux intégrations par parties. On l'utilise quand la seconde fait réapparaître l'intégrale de départ, comme pour $\int e^t\sin t\,\dd t$ , ou pour abaisser deux fois le degré d'un polynôme multiplié par une exponentielle.

Peut-on faire une IPP sur une intégrale généralisée ?

Oui, si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle ouvert et si $uv$ a des limites finies aux bornes : les deux intégrales sont alors de même nature. Sinon, on fait l'IPP sur un segment $[x,y]$ et on étudie la limite.

Intégration par parties (IPP)

Énoncé

Démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Double IPP : $\int_0^{\pi} e^t\sin t\,\dd t$

IPP généralisée : $\int_0^{+\infty}t^n e^{-t}\,\dd t=n!$

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Quelle est la formule de l'IPP ?

Qu'est-ce qu'une double IPP ?

Peut-on faire une IPP sur une intégrale généralisée ?

Exercices corrigés utilisant : Intégration par parties (IPP)

Identités du rêve de l'étudiant

Comportement asymptotique d'une suite d'intégrales

Limite d'une intégrale mélangeant puissances et exponentielles

Intégrale logarithmique et série alternée

Évaluation d'une intégrale par développement en série

Limite d'Euler et constante Gamma

Intégration terme à terme

Étude d'une intégrale logarithmique par série

Série exponentielle et intégrales de logarithmes

Calcul de la somme d'une série de fractions rationnelles

Série entière et constante d'Apéry

Étude d'une intégrale à paramètre exponentielle

Étude asymptotique d'une intégrale à paramètre

Intégration par parties (IPP)

Énoncé

Démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Double IPP : ∫0πetsin⁡t dt\int_0^{\pi} e^t\sin t\,\dd t∫0π​etsintdt

IPP généralisée : ∫0+∞tne−t dt=n!\int_0^{+\infty}t^n e^{-t}\,\dd t=n!∫0+∞​tne−tdt=n!

Erreurs classiques

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Quelle est la formule de l'IPP ?

Qu'est-ce qu'une double IPP ?

Peut-on faire une IPP sur une intégrale généralisée ?

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Double IPP : $\int_0^{\pi} e^t\sin t\,\dd t$

IPP généralisée : $\int_0^{+\infty}t^n e^{-t}\,\dd t=n!$